Soluções Física - Semana 43

Iniciante:

Situação Física: por conservação de energia, sabemos que a velocidade da bolinha vai variar conforme a altura em que se encontra, contudo por termos $R$ desprezível, podemos desconsiderar a mudança de velocidade dentro do loop. Além disso, pela resultante centrípeta em um movimento circular, vemos que a normal da bolinha com o loop terá relação com a velocidade da mesma, e para termos uma anulação do peso, o vetor normal deve ser paralelo ao peso.

Normal topo do loop:

$N=F-mg$

Onde $F$ é a força centrípeta, a qual é dada como:

$F=\frac{mV^2}{R}$

E $V^2$, pela conservação de energia:

$V^2=2hg$

Logo temos a normal do loop com o chão, $N'$, dada como:

$N'=Mg-N\rightarrow N'=Mg-\frac{mV^2}{R}+mg$

Para termos $N'=\frac{Mg}{2}$:

$Mg-\frac{mV^2}{R}+mg=\frac{Mg}{2}\rightarrow\frac{mV^2}{R}=\frac{Mg}{2}+mg$

Encontramos então:

$mhg=\frac{Mg}{2}+mg\rightarrow h=\frac{MR}{2m}+R$

Caso o raio $R$ do loop não fosse desprezível em relação a demais parâmetros de comprimento ($H$), ou seja, se não tivéssemos $M>>m$, teríamos de considerar a mudança de velocidade dentro do loop devido a ascensão da bolinha, logo a centrípeta não seria constante.

Intermediário:

Situação Física. Temos uma velocidade inicial da bolinha fixa, contudo, por $R$ não ser desprezível a centrípeta não é constante e por tal a maior normal normal não necessariamente se da no topo do loop. Além disso, temos que a força horizontal no loop acarreta em atrito com a parede. Ps.: adotemos $\theta$ como a angulo que o vetor normal faz com a horizontal.

Para a normal em um ponto qualquer do loop, usando conservação de energia, temos:

$N=\frac{mg(H-R(1+\sin{(\theta)}))}{R}-mg\sin{(\theta)}$

Para a normal do loop com o chão ser $0$, todas as forças verticais devem se anular, levando a:
$N\sin{(\theta)}-Mg-uN\cos{(\theta)}=0$

Sabendo que $\cos{(\theta)}=\sqrt{1-\sin^2{(\theta)}}$, obtemos então:

$(\frac{mg(H-R(1+\sin{(\theta)}))}{R}-mg\sin{(\theta)})\sin{(\theta)}-Mg-u(\frac{mg(H-R(1+\sin{(\theta)}))}{R}-mg\sin{(\theta)})\sqrt{1-\sin^2{(\theta)}}=0$

Foi dito que que se podia deixar em formato de equação, logo ai temos o ângulo e por tal, a posição, da bolinha no loop no qual o mesmo perde contato com o chão. Você pode checar casos limites interessantes como $R$ muito pequeno ou $u$ muito pequeno.

Avançado:

Pelo vínculo de movimento temos que:

$R\omega=r\Omega$

Tal que $\Omega$ é a velocidade angular do esfera.

Temos que o torque $T$:

$T=N'R=I\omega\Omega$

Sendo $I$ o momento de inercia em relação ao eixo de translado da esfera, que passa pelo ponto em torno do qual ela gira e a velocidade em relação a este é zero (eixo horizontal que passa pelo ponto de contato da esfera com o chão e do cabinho com o chão), sendo dado, pelo teorema dos eixos paralelos, por:

$I=I_{cm}+Mr^2$

Temos que, se tratando de uma esfera, $I_{cm}=\frac{2Mr^2}{5}$, logo:

$I=\frac{7}{5}Mr^2$

Por fim obtemos:

$N'=\frac{7}{5}Mr\omega^2$

Contudo, para a normal temos:

$N=\frac{T}{R}+Mg$

E por fim:

$N=Mg+\frac{7}{5}Mr\omega^2$