Soluções Física - Semana 47

Iniciante:

Situação Física: Para que o bloquinho se mantenha estático em relação a prancha, a força resultante nele, ou seja, a soma (vetorial) de todas as forças que atuam sobre ele, deve resultar em uma aceleração igual a da prancha, em módulo sentido e direção. Como não foi estabelecido, a aceleração da prancha pode ser tanto subindo o plano quanto descendo, e isto nos confere os limites mínimo e máximo.

Resolução: Se a prancha estiver subindo:

A aceleração do bloquinho para cima é dada pela força resultante neste, as duas forças que atuam são a de atrito (para cima) e a componente do peso:

$F_{s}=\cup mg\cos{(\theta)}-mg\sin{(\theta)}$

E

$a_{s}=\frac{F_{s}}{m}=g(\cup\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)})$

Logo, se a prancha subir com aceleração maior do que esta o bloquinho não a acompanha.

Se a prancha estiver descendo:

A aceleração do bloquinho para cima é dada pela força resultante neste, as duas forças que atuam são a de atrito (para baixo) e a componente do peso:

$F_{d}=\cup mg\cos{(\theta)}+mg\sin{(\theta)}$

E

$a_{d}=\frac{F_{d}}{m}=g(\cup\cos{(\theta)}+\sin{(\theta)})$

E assim, olhando os módulos (valor positivo) $a$ deve ser menor ou igual a $a_{d}$ e maior ou igual a $a_{s}$.

$g(\cup\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)})\leq a\leq g(\cup\cos{(\theta)}+\sin{(\theta)})$

Intermediário: 

Situação Física: Para que tal fenômeno ocorra, é necessário que o raio de luz de uma volta em torno do planeta, fazendo uma circunferência de raio $R+h$, ou seja, a uma distância $h$ da superfície. Para isto, quando o raio atinge uma altura $h$, ou seja, quando ele tenta passar por uma camada da atmosfera a uma altura $h$, ele é refratado fazendo $90^0$ com a mesma.

Resolução: Tendo um índice de refração inicial $N_{0}$ e sendo o ângulo $\theta$ o que o raio de luz incide na camada da atmosfera:

$N_{0}\sin{(\theta)}=N\sin{(90^0)}$

E temos que:

$\sin{(\theta)}=\frac{R}{R+h}$

Pois consta em um triângulo retângulo de hipotenusa $R+h$ e cateto oposto $R$.

Por fim:

$N=\frac{N_{0}R}{R+h}=\frac{N_{0}}{1+\frac{h}{R}}$

Sabendo que $N=\frac{N_{0}}{1+\epsilon h}$, concluímos que:

$\epsilon=\frac{1}{R}$

Avançado:

Situação Física: Nos é dado que devido ao índice de refração variável o raio de luz curvará em uma circunferência definida. Podemos analisar um infinitesimal deslocamento $d\theta$ do raio nesta circunferência afim de obter os parâmetros.

Resolução: Pegando um $dl$ da trajetória do raio podemos trata-lo como uma reta e formar um triângulo ($ABC$, retângulo em $B$) usando-o como hipotenusa, onde o ângulo da base ($dx$) com a hipotenusa é $\theta$ e o cateto oposto é um infinitesimal $dz$. Se ligarmos $A$ e $C$ ao centro da circunferência, temos como uma aproximação válida $dl=Rd\theta$.

Assim obtemos:

(I) - $dz=Rd\theta\cos{(\theta)}$

E por Snell sabemos que:

(II) - $N_{0}\sin{(\theta_{0})}=N\sin{(\theta)}$

Além disso, sabemos que:

(III) - $N_{0}=\frac{V_{0}}{C_{0}}$  e  $N=\frac{V}{C}$

Aplicando (II) em (III):

$C=C_{0}\frac{\sin{(\theta)}}{\sin{(\theta_{0})}}$

E derivando:

(IV) - $dC=C_{0}\frac{\cos{(\theta)}d\theta}{\sin{(\theta_{0})}}\rightarrow\cos{(\theta)}d\theta=\frac {dC\sin{(\theta_{0})}}{C_{0}}$

Mas temos que:

$C=C_{0}+bz$

Logo:

(V) - $dC=bdz$

Usando (I) em (V):

(VI) - $\frac{dC}{b}=Rd\theta\cos{(\theta)}$

Por fim, usando (IV) em (VI):

$R\frac {dC\sin{(\theta_{0})}}{C_{0}}=\frac{dC}{b}$

E isto nos leva a:

$R=\frac{C_{0}}{b\sin{(\theta_{0})}}$