Soluções Física - Semana 48

Iniciante:

Situação Física: O tempo de queda de um objeto lançado verticalmente para cima depende exclusivamente da altura máxima que este chega e da aceleração (para baixo) conferida ao mesmo (isto desconsiderando efeitos como resistência do ar), havendo inclusive a clássica relação: $h=\frac{gt^2}{2}$, considerando que na queda a velocidade inicial é nula, pois há a inversão do movimento. E sabendo que há simetria o movimento, sabemos que o tempo de queda equivale ao de subida. Temos, pela conservação da energia, que a altura máxima atingida pelo corpo se relaciona com a velocidade inicial deste. E para que o requerido no desafio ocorra, deve-se jogar a bola tal que ela alcance exatamente a altura $h$, tendo o menor tempo de queda, como visto na eq. já citada

Resolução: Conservando a energia:

$mhg=\frac{1}{2}mv_{0}^2$

Nos levando a:

$v_{0}=\sqrt{2hg}$

Intermediário:

Situação Física: Neste caso, não podemos conservar a energia total pois perdemos a energia potência da mola que é removida. Contudo o restante da energia é conservada e podemos obter nossos resultados usando deste fato.

Resolução: Energia inicial (lembrando que inicialmente as duas molas são deformadas e $d$):

$E_{0}=\frac{1}{2}kd^2+\frac{1}{2}kd^2$

Energia na mola da direita em $t=0$ $rightarrow$ energia perdida:

$E_{p}=\frac{1}{2}k\frac{d}{2}^2=\frac{kd^2}{8}$

Energia final:

$E_{f}=E_{0}-E_{p}=\frac{7}{8}kd^2$

E sabemos que, sendo $x$ a nova amplitude:

$E_{f}=\frac{1}{2}kx^2$

Por fim:

$\frac{7}{8}kd^2=\frac{1}{2}kx^2$

$\rightarrow x=\frac{\sqrt{7}}{2}d$

Mas, se energia foi retirada do sistema, como pode a nova oscilação ser maior? Bem simples! Há somente uma mola atuando na massa agora, de modo que se move a bolinha com menos esforço, ou seja, menos energia.

Avançado:

Situação Física: Tendo a condutividade da água, podemos trata-la como um fio infinito de raio $R$. Tendo um fio infinito é bem simples obter o campo gerado por este a uma distância $R$, traçando uma Gaussiana, devido a simetria cilíndrica. Logo nos resta obter a relação entre campo e densidade de corrente.

Resolução: Tendo a condutividade do fio (de água) podemos estabelecer sua resistência usando:

$R=\frac{l}{A\sigma}$

Onde $l$ é o comprimento e $A$ a área transversal do fio. Também sabemos que:

$V=Ri\rightarrow i=\frac{V}{R}=\frac{VA\sigma}{l}$

Sendo $V$ o potencial. Porém temos que a relação do potencia com o campo se da como:

$V=El\rightarrow E=\frac{V}{l}$

E para a densidade de corrente ($J$):

$J=frac{i}{A}=\frac{V}{l}\sigma\rightarrow J=E\sigma$

E, para obter o campo gerado pelo fio (inicial, não o de água) utilizamos a equação:

$\int{E.dA}=\frac{Q}{\epsilon}$

Sendo $Q$ dada pela carga neste fio, dada por:

$Q=l\lambda$

Lembrando que a área referia é a de um cilindro, chegamos a:

$E=\frac{Q}{2Rl\pi\epsilon}=\frac{l\lambda}{2Rl\pi\epsilon}$

Por fim, chegamos a:

$J=\frac{\sigma\lambda}{2R\pi\epsilon}$