Soluções Física - Semana 49

Iniciante:

Situação Física: Sabemos que a energia nesse caso será conservada, logo o carrinho chegará a outra extremidade com velocidade igual a que saiu na primeira. Esta velocidade inicial é, novamente por conservação da energia, igual a potencial da mola. Também sabemos que ao chegar a segunda extremidade com velocidade, como nada prende o carrinho à pista, este será arremessado, de um ângulo de $45^0$ graus, e assim temos um lançamento obliquo.

Resolução:

$V_{f}=V_{i}$

$\frac{1}{2}mV_{i}^2=\frac{1}{2}kb^2\rightarrow V_{i}=b\sqrt{\frac{k}{m}}$

Onde $b$ é a deformação da mola. Para o lançamento:

$V_{x}=V_{i}\cos{(45^0)}$ e $V_{y}=V_{i}\sin{(45^0)}-gt$

Representando $x$ o eixo horizontal e $y$ o vertical. No final da ascensão (subida) do carrinho, sua velocidade é zero. Logo, para o tempo de subida:

$V_{y}=o\rightarrow \frac{V_{i}\sin{(45^0)}}{g}=t$

Pela simetria do movimento, o tempo de subida é igual ao de descida, logo o tempo total de voo é duas vezes o tempo de subida:

$T=2t=2\frac{V_{i}\sin{(45^0)}}{g}=\frac{2b\sqrt{\frac{k}{m}}\sin{(45^0)}}{g}$

A distância horizontal percorrida, ou seja, a distancia a qual o carrinho volta a pista, se da por esse tempo multiplicado pela velocidade horizontal:

$D=V_{x}T=\frac{1}{g}2V_{i}^2\cos{(45^0)}\sin{(45^0)}$

Substituindo seno e cosseno (valores conhecidos):

$sin{(45^0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos{(45^0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Por fim temos:

$D=\frac{b^2k}{mg}$

Intermediário:

Situação Física: Como há variação do momento da areia, há uma força sendo aplicada. Não consideramos nada devido a queda pois foi dada como de altura desprezível. Para vermos o quanto de energia vira calor, vemos o trabalho feito e o tanto de energia cinética ganha.

Resolução:

a) A força que deve ser aplicada para que ocorra tal variação do momento da areia:

$F=\frac{dP}{dt}=\frac{mV}{dt}=\frac{dm}{dt}V+\frac{dV}{dt}$

Para que não haja variação na velocidade $V$ da esteira, temos:

$\frac{dV}{dt}=0$

$\rightarrow F=\frac{dm}{dt}V=XV$

b) Para o trabalho (por tempo) $W$ feito:

$\frac{dW}{dt}=F\frac{dD}{dt}=FV=XV^2$

Onde $D$ é a distância percorrida. E quanto a energia cinética ganha (por tempo) $E$ , temos:

$E=\frac{mV^2}{2}=\frac{dm}{dt}\frac{V^2}{2}+\frac{dV^2}{dt}\frac{m}{2}$

Sendo a velocidade constante:

$\frac{dV^2}{dt}\frac{m}{2}=0$

Que nos leva a:

$E=\frac{dm}{dt}\frac{V^2}{2}=X\frac{V^2}{2}$

Para a energia perdida em calor:

$Q=W-E=X\frac{V^2}{2}$

Se pegarmos o tempo $t$ no qual tenha caído uma massa $M$ de areia sobre a esteira, temos que o calor absorvido será $Q_{abs}Qt$ ( $Q$ , tal como $W$ e $E$ foram obtidos em energia por tempo). Assim temos:

$t=\frac{M}{X}\rightarrow Q_{abs}=Qt=X\frac{V^2}{2}\frac{M}{X}=\frac{MV^2}{2}$

E como sabemos que a temperatura ganha se dá pela divisão do calor (energia) fornecido pela massa e pelo calor específico. Logo:

$T=\frac{Q_{abs}}{Mq}=\frac{V^2}{2q}$

Avançado:

Situação Física: Temos uma situação de oscilações acopladas, logo traçamos primeiramente as forças em cada massa, olhando cuidadosamente as deformações de cada mola. Depois deduzimos uma solução da forma $A\sin{(\omega t)}+B\cos{(\omega t)}$ para cada uma delas e olhamos casos como $t=0$ para acharmos as constantes. Após isso substituímos e temos as equações desejadas. se colocarmos que a massa de cima se move $x_{1}$ e a de baixo $x_{2}$ , ambos no sentido horário, temos de lembrar que a deformação da mola a direita da massa $1$ se deforma um $x_{2}-x_{1}$ e a da esquerda, $x_{1}-x_{2}$ .

Resolução:

$X1=A\sin{(\omega t)}+B\cos{(\omega t)}$ e $x_{2}=C\sin{(\omega t)}+D\cos{(\omega t)}$

Tendo como a massa $1$ a que sofre a força de arraste, chamemos sua aceleração de $a_{1}$ . Adotemos $x_{1}>x_{2}$ (não faz diferença na verdade):

$a_{1}=\frac{1}{m}[k(x_{2}-x_{1})-k(x_{1}-x_{2})]-F\cos{(\omega_{d}t)}$

De forma semelhante:

$a_{2}=\frac{1}{m}[-k(x_{2}-x_{1})+k(x_{1}-x_{2})]$

Para a velocidade da massa $1$ temos:

$\dot{x}_{1}=\omega A\cos{(\omega t)}-\omega B\sin{(\omega t)}$

Como a velocidade inicial é nula, sabendo que seno de $0$ é zero e cosseno de $0$ é $1$ , temos:

$\omega A=0\rightarrow A=0$

De maneira análoga encontramos que $C=0$ . Derivando duas vezes cada função para obter $a1$ e $a2$ , e colocando $\dot{B}=0$ (valendo também para $\dot{D}$ ), chegamos a: