Iniciante:
Situação Física: Sabemos que o momento linear, dado pelo produto da massa pela velocidade, deve se conservar. Além disso, nos é dada uma relação entre a energia inicial e a final, sendo esta E=810E0.
Resolução: Conservação da momento:
(I) - mv=MV+mv′→v=v−MmV
Relação das energias:
(II) - 810E0=E→25mv2=MV2+mv′22
Aplicando (I) em (II):
45mv2=MV2+mv2−2MvV+M2mV2
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:
V=2Mv+√4M2−Mm52(M+M2m)
ou
V=2Mv−√4M2−Mm52(M+M2m)
Aplicando (I), obtemos v′:
v′=v−Mm2Mv+√4M2−Mm52(M+M2m)
ou
v′=v−Mm2Mv−√4M2−Mm52(M+M2m)
Por fim, se M>>m, podemos dizer que é como se m tivesse batido em uma parede, de modo que sua velocidade se inverte de sentido e, nesse caso, diminui em módulo, pois houve perda de energia, ao passo que M fica imóvel.
Intermediário:
Situação Física: Nesse cenário temos conservação da energia. O maior desafio é saber oque exatamente buscamos. Que fenômeno nos garantiria a condição desejada? Bem, se analisarmos a situação mais propensa a furar com a condição e essa ainda bater, logo temos o necessário. Tal situação se dá quando a bolinha está na vertical acima do pino, de modo que sua velocidade tangencial é a menor devido a conservação da energia. Para que o requerido ocorra, a centrípeta deve igualar o peso.
Resolução: A energia no ponto citado,cuja distância do ponto fixo é 2d−L, por conservação de energia:
E=E0→12mv2=mg(2d−L)
Assim obtemos a resultante centrípeta:
Rc=(mv2)L−d=2gm(2d−L)L−d
E para a condição requerida:
Rc≥mg→4d−2L≥L−d→dmin=35L
Avançado:
Situação Física: Aqui temos a conservação de momento e energia. Um modo de analisa-lo é através de quadrivetores. Definamos o quadrivetor P tal que P=(E,p,0,0) sendo p=√E2−M2.
Resolução: Para os demais quadrivetores:
P1=(E1,√E21−m2,0,0)
P2=(E2,√E22−m2cos(θ),√E22−m2sin(θ),0)
Pela conservação, temos;
P−P1=P2→(P−P1)(P−P1)=P2P2
E isto nos leva a:
P2−2PP1+P21=P22→E2−E2+M2−2(EE1−√E2−M2√E21−m2cos(900))+m2=E2E2cos(0)−√E22−m2√E22−m2cos(0)=m2
Por fim, chegamos a:
M2−2EE1+m2=m2→E1=M22E
Para E2:
E2=E−E1→E2=2E2−M22E