Iniciante: 

Situação Física: Temos de lembrar que, para que um trem atravesse um túnel, deve se mover o equivalente a todo seu comprimento mais o do túnel. Basta então usarmos as equações da cinemática.

Resolução: Para o primeiro trem:

$T=\frac{D+L}{V}$

Para o segundo trem:

$D+L=\frac{aT'^2}{2}\rightarrow T'=\sqrt{2\frac{D+L}{a}}$

Para termos o mesmo tempo:

$T=T'\rightarrow \frac{D+L}{V}=\sqrt{2\frac{D+L}{a}}$

Assim temos:

$V=\sqrt{a\frac{D+L}{2}}$

Intermediário:

Situação Física: Sabemos que, quando é aquecido, um gás ideal aumenta ou seu volume ou sua pressão. Neste caso apresentamos uma configuração de pressão constante, pois a pressão interna deve igualar a externa, e enquanto isso não ocorrer, o gás empurrará o pistão, expandindo. Deste modo, sabemos que o pistão irá se mover. Contudo não há atuação de forças externas (na horizontal) implicando que a posição do centro de massa do sistema não deve mudar. Caso se interesse, pode fazer versões mais complexas deste problema, incluindo massa do gás ou considerando uma expansão não muito lenta, levando a oscilações.

Resolução: O centro de massa inicialmente se encontra no centro do cilindro, e neste mesmo local (no espaço) deve ficar. Após o aquecimento, temos:

$2TRn=PV'$

Sendo que

$TRn=PV$

Logo $V'=2V$. Assim concluímos que o pistão vai do meio para a extremidade do cilindro. Deste modo seus centros de massa distam $X$. Se escolhermos a extremidade direita do cilindro antes do aquecimento como origem de nosso referencial e dissermos que o cilindro se locomoveu $d$ para a esquerda, temos que o centro de massa do sistema tem que estar a uma distância $X-d$ do pistão, para que permaneça na posição $X$ em relação à origem. Sendo $y$ a distância do centro de massa do sistema em relação ao do cilindro, temos a relação:

$yM=(X-d)m$

Neste caso para encontrar $y$ basta sabermos que a distância do centro de massa do cilindro à origem era de $X$ e após de mover é de $X+d$ e além disso, temos a distância do centro de massa do sistema em relação à origem, a qual é mantida ($X$). Logo a distância entre estes respectivos centros de massa, $y$, se da por:

$y=X+d-X=d$

E isso nos leva à:

$dM=(X-d)m\rightarrow d=\frac{Xm}{M+m}$

Avançado:

Situação Física: Não há muito a dizer. Basta realizarmos a soma de velocidades relativísticas em um referencial diferente para vermos em qual referencial ambas partículas têm mesma velocidade. sabemos que o referencial tem de se mover no mesmo sentido que $A$, pois somente assim podemos diminuir sua velocidade e aumentar a de $B$, de modo a estas se igualarem.

Resolução: Vamos dizer que o referencial em questão de move com $u$. Temos para $A$:

$v_a=\frac{v-u}{1-\frac{vu}{c^2}}$

E para $B$:

$v_b=\frac{0-u}{1-\frac{0u}{c^2}}$

Façamos então a igualdade:

$v_a=v_b\rightarrow\frac{v-u}{1-\frac{vu}{c^2}}=u$

E assim obtemos:

$v-u=+u-\frac{vu^2}{c^2}\rightarrow u=c^2\frac{1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{v}$

Lembrando que necessariamente $u<c$.