Iniciante:
Situação Física: Temos de nos lembrar de alguns conceitos de lançamento, cinemática e conservação de energia. Para o projétil, temos que sua energia é dada pela potencial mais a cinética, sendo necessário se descobrir sua altura inicial, a qual podemos obter pela dada condição de o projétil atingir o local onde o mago inicialmente se encontrava, a uma distância D da catapulta, e foi disparado com certa velocidade inicial horizontal, sendo que a velocidade nesta direção se conserva. Pelo raio que o Mago deveria percorrer para escapar do impacto, vemos a condição de velocidade mínima para a outra saída.
Resolução: Para a altura do projétil:
H=gt22
E
D=V0t
Deste modo
H=gD22V20
E assim obtemos sua energia:
E1=12MV20+MD2g22V20
Já para a locomoção do Mago, temos:
vt=R→v=RV0D
E logo a energia se da por:
E2=12mv2=12mRV0D2
Sendo a razão entre as energias:
E1E2=MmV20+D2g2V20RV0D2
Intermediário:
Situação Física: Realizando uma sobreposição, fica fácil de obtermos o momento de inércia de um cilindro não maciço, e a partir disso, conservamos suas energias, assumindo rolamento perfeito, para obter as alturas.
Resolução: Momento de inércia do segundo cilindro, por sobreposição:
I2=IR−Ir=12m1R2−12m2r2=12m1R2−12m2R24
endo que para as massas, temos:
m1=V1ρ
E
m2=V2ρ
E para os volumes:
V1=hR2π
E
V2=R24π
E deste modo, temos:
m1=ρπhR2
m2=ρπh14R2→m2=14m1
Voltando ao momento de inércia:
I2=12m1R2−132m1R2=1532m1R2
Para as energias:
E1=12I1ω2=m1gH1
E2=12I2ω2=(m1−m2)gH2=34m1hH2
Deste modo a razão entre as alturas se da por:
H1H2=3I14I2=312m1R241532m1R2=45
Avançado:
Situação Física: Devemos nos lembrar também que a intensidade é proporcional ao quadrado do campo.
Resolução: Para a primeira polarização:
E1=E02
Para a segunda:
E2=E1cos(α)=E02cos(α)
E para a terceira:
E3=E2cos(90−α)=E02cos(α)sin(α)
Deste modo:
I2I0=E22E20=116sin(2α)2