Soluções Matemática - Semana 12 (uma mini-aula de potencia de ponto)

Problema Inciante

Sejam $C$ e $D$ os pontos de interseção de $PO$ com a circunferência, onde $C$ está entre $P$ e $O$. Considere também, sem perda de generalidade $A$ entre $P$ e $B$.

Do quadrilátero $ABCD$ ser inscritível, temos que $\angle PAC=\angle PDB$ e daí os os triângulos $PAC$ e $PDB$ são semelhantes pois têm dois pares de ângulos iguais, o que implica em $\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB} \Longrightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD$. Agora ficou um pouco melhor, pois devemos calcular $PC\cdot PD$ e os dois termo dependem visivelmente de $R$ e $PO$.

Temos $PC=PO-OC=PO-R$ e $PD=PO+OD=PO+R$ e daí $PA\cdot PB=PC\cdot PD=(PO-R)(PO+R)=PO^2-R^2$ como queríamos.

O caso para quando o ponto $P$ está dentro da circunferência é extremamente similar, então o deixaremos para você treinar.

 

Problema Intermediário

Antes vamos ver um fato sobre... triângulos! Seja $ABC$ um triângulo e $D$ o pé da perpendicular de $A$ ao lado $BC$. Veja que, por Pitágoras:

$AB^2=BD^2+AD^2$

$AC^2=CD^2+AD^2$

Subtraindo as duas equações ficamos com $AB^2-AC^2=BD^2-CD^2$. Interpretando essa informação de um jeito interessante, vemos que, a diferença entre os quadrados das distâncias de $A$ até $B$ e até $C$ só depende de onde está o pé da perpendicular baixada $A$ à reta $BC$. Desse modo, se dois pontos $X_1,X_2,...,X_n$  têm todos a mesma diferença das distâncias ao quadrado até os pontos $B$ e $C$ (seja ela $k$) então todos pertencem à reta perpendicular ao lado $BC$ que passa pelo ponto $X$ dessa reta tal que $BX^2-CX^2=k$.

Agora já podemos terminar o problema intermediário, pois, o que significa um ponto ter a mesma potência de ponto em relação a $C_1$ e a $C_2$? Significa que, sendo $O_1$ e $O_2$ os respectivos centros dessas circunferências e $R_1$ e $R_2$ os respectivos raios, o ponto $X$ está no eixo radical se, e somente se, $XO_1^2-R_1^2=XO_2^2-R_2^2 \Longrightarrow XO_1^2-XO_2^2=R_1^2-R_2^2=constante$. Logo, o lugar geométrico dos pontos com mesma potência de ponto relativa às duas circunferências é a reta perpendicular à reta $O_1O_2$ e que passa pelo ponto $D$ sobre essa reta que satisfaz $O_1D^2-O_2D^2=R_1^2-R_2^2$, que é ainda um pouco mais específico do que o que queríamos provar.

 

Problema Avançado

Aqui cabe uma correção: Tal proposição é para o caso em que as três circunferências não têm seus centros colineares.

Talvez esse seja o problema mais rápido, pois é nada mais nada menos do que uma aplicação imediata dos problemas anteriores. Seja $D$ a interseção dos eixos radicais de {$C_1,C_2$} com {$C_2,C_3$}. Sabemos que tal interseção é de fato um ponto pois os dois eixos radicais são retas não paralelas (dado que os centros das circunferências não são colineares e que um eixo radical é perpendicular ao seu par de centros).

De $D$ estar no eixo radical de {$C_1,C_2$}, a potencia de ponto de $D$ relativa a $C_1$ e $C_2$ é a mesma $(1)$

De $D$ estar no eixo radical de {$C_2,C_3$}, a potencia de ponto de $D$ relativa a $C_2$ e $C_3$ é a mesma $(2)$

De $(1)$  e $(2)$, a a potencia de ponto de $D$ relativa a $C_1$ e $C_3$ é a mesma $\Longrightarrow$ $D$ está no eixo radical de {$C_3,C_1$} e enfim concluímos que os três eixos radicais concorrem!