Infinidade de Números Primos

Teorema de Euclides

Teorema 1: Existem infinitos números primos.

Prova: Suponha que não existam infinitos números primos. Consequentemente, podemos concluir que existe um maior número primo $p$. Olhe para o número

$p(p-1)(p-2)...1+1= p! +1 = N$

Note que se $q$ é um divisor primo de $N$, então $q \le p$, por suposição, e daí

$q | p!$

Portanto $q | N - p! =1$ absurdo! Isso completa a prova.

 

Agora tente fazer os seguintes problemas:

 

P1. Prove que existem infinitos primos que deixam resto $3$ na divisão por $4$.

P2. Prove que existem infinitos primos que deixam resto $2$ na divisão por $3$.

P3. Prove que existem infinitos primos que deixam resto $11$ na divisão por $12$.