Semana 44 (02 de abril de 2019)
02/04/2019 Pedro CabralIniciante
Jamile escreve dois inteiros positivos a e b num quadro. Em cada minuto, ela apaga os dois números que estão escritos no quadro e escreve a soma e a diferença (positiva) deles. Prove que depois de 20 minutos, existe um número escrito no quadro que é maior que 1000.
Intermediário
Seja n um inteiro positivo. Considere a sequência definida por
ai=1 ∀i=1,2,...,n−2
an−1=n−1
ak+n=ak+n−1+ak+n−2+...+a1 ∀k≥0
Prove que se m é um inteiro positivo, então existe um inteiro positivo p (dependendo de m) com m|ap.
Avançado
Determine todas as funções f dos inteiros positivos nos inteiros positivos satisfazendo
f(f(n))=f(n)+1
para todo n inteiro positivo.
Avançado:
Tenho um palpite:
f(n) = n + 1
Um outro para uma outra questão sobre funções que foi publicada aqui (em http://noic.com.br/semana-45-matematica/ )
f(x) = x