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Semana 44 (02 de abril de 2019)

02/04/2019 Pedro Cabral

Iniciante

Jamile escreve dois inteiros positivos a e b num quadro. Em cada minuto, ela apaga os dois números que estão escritos no quadro e escreve a soma e a diferença (positiva) deles. Prove que depois de 20 minutos, existe um número escrito no quadro que é maior que 1000.

Intermediário

Seja n um inteiro positivo. Considere a sequência definida por

ai=1 i=1,2,...,n2

an1=n1

ak+n=ak+n1+ak+n2+...+a1 k0

Prove que se m é um inteiro positivo, então existe um inteiro positivo p (dependendo de m) com m|ap.

Avançado

Determine todas as funções f dos inteiros positivos nos inteiros positivos satisfazendo

f(f(n))=f(n)+1

para todo n inteiro positivo.

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