Distribuições de variáveis

Nas duas últimas aulas, nos dedicamos a estudar como classificar e definir variáveis, agrupá-las e tratá-las. Agora, nos resta saber como tirar conclusões em cima da nossa pesquisa. Para isso, precisamos conhecer a forma como as variáveis se distribuem, para escrever funções e prever casos futuros. Além disso, a distribuição das variáveis nos fornece a significância da medida.

Ao plotar os dados em uma curva de probabilidade, observa-se que ela segue um padrão, na maioria das vezes, semelhantes à um sino (campanário) e é simétrico:
A grande questão é: qual função descreve esta curva e nos permite fazer previsões? Para isso, vamos estudar as três teorias de distribuição de probabilidades mais convenientes para nossa análise.

1. Modelo binomial

O modelo binomial é uma distribuição baseada no Binômio de Newton, que nada mais é que uma maneira para escrever a forma canônica de um polinômio de grau $n$. Relembrando:

$(a+b)^n=\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

O modelo de distribuições binomial serve para variáveis dicotômicas e independentes, ou seja, só há duas respostas possíveis e uma ocorrência não influencia próxima. Ou seja, $P(A|B)=P(A)$, a probabilidade de ocorrer $A$ dado que ocorreu $B$ é igual a probabilidade de ocorrer $A$, já que são eventos independentes, e $P(A)+P(B)=1$. Um caso típico é a chance de um casal ter uma menina dado que eles já têm um filho homem, a probabilidade é $50\%$, já que os eventos são independentes: a cada nova fecundação a probabilidade do óvulo ser $XX$ ou $XY$ é a mesma.

Seja $P$ a probabilidade de sucesso de um evento, i.e., a probabilidade que ele ocorra dado o espaço amostral. Dessa forma, $(1-p)$ é a chance de fracasso. Considerando $x$ o número de sucessos em $n$ realizações, se $x$ tem distribuição binomial, a probabilidade de sucesso é de:

$P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}|\ x\in \mathbb{N}$

https://www.researchgate.net/figure/Figura-31-Graficos-da-distribuicao-binomial_fig2_255665114

Ou seja, interpretando a função, temos que para $x$ sucessos em $n$ casos, distribuidos aleatoriamente, há $\binom{n}{x}$ maneiras de escolher como distribuir esses valores em $n$ casos.

Como a distribuição binomial é uma distribuição de probabilidades, a soma de toda a área sob a curva é 1.

Exemplo retirado de https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/binomial.html: Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico estar em condições operacionais satisfatórias é de 0.98. Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de cinco componentes, quais são as probabilidades de se encontrarem,

1. zero;
2. exatamente um;
3. exatamente dois;
4. dois ou mais;
5. ao menos quatro, itens defeituosos?

Respostas: Para isso, basta aplicar a fórmula da distribuição binomial, utilizando $p=0.98$, $(1-p)=0.02$ e aplicando o valor de $X=5-x$ (número de sucessos) para cada situação. Então:

1. $P(X=5)=\binom{5}{5}0.98^5\cdot0.02^{0}=0.9039207968$
2. $P(X=4)=\binom{5}{4}0.98^4\cdot0.02^{1}=0.0922368160$
3. $P(X=3)=\binom{5}{3}0.98^3\cdot0.02^{2}=0.0037647680$
4. $P(X=2)=\binom{5}{2}0.98^2\cdot0.01^{3}=0,0000768320$
5. $P(X=1)=\binom{5}{1}0.98^1\cdot0.02^{4}=0,0000007842$

O modelo binomial é bastante útil em distribuições de genética mendeliana.

(Retirado do livro Introdução à Bioestatística) "Exemplo 4.2.2: De acordo com a teoria Mendeliana da hereditariedade de caracteres, um cruzamento de determinada espécie de plantas com flores vermelhas e brancas, produz uma nova planta que tem 25% de chance de ter flores vermelhas. Dois cruzamentos essa espécie de plantas foram realizados. Seja $X$ o número de plantas com flores vermelhas. a variável aleatória $X~B(2, 1/4)$ pois: (a) cada planta produz flores vermelhas (V) ou brancas (B) (dicotomia de eventos); (b) $P(V)=1/4$ é constante em cada realização do experimento (os eventos são independentes). A distribuição de probabilidade de $X$ é:

$P(X=x)=\binom{2}{x}(\frac{1}{4})^x(\frac{3}{4})^{2-x},\ x=1,2,3...$

Calculando-se $P(X=x)$ para cada $x$, obtêm-se [...]:

$P(X=0)=\binom{2}{0}(\frac{1}{4})^0(\frac{3}{4})^{2}=1\times 1\times \frac{9}{16}$

$P(X=1)=\binom{2}{1}(\frac{1}{4})^1(\frac{3}{4})^{1}=2\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}= \frac{6}{16}$

$P(X=2)=\binom{2}{2}(\frac{1}{4})^2(\frac{3}{4})^{0}=1\times \frac{1}{16}\times 1=\frac{1}{16}$

Observe que a ocorrência de nenhuma planta com flores vermelhas, i.e., $X=0$, equivale ao evento duas plantas com flores brancas ($B\cap B$) e a probabilidade desse evento é:

$P(B\cap B)=\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

As demais probabilidades poderiam ser obtidos de maneira análoga.

A distribuição de probabilidade de $X$ está apresentada graficamente na Figura abaixo.

Modelo de Poisson

É utilizado quando sabe-se para representar o número de ocorrências, de forma discreta, de um evento por intervalo de tempo. Nessa distribuição, a taxa de variação ocorrências aferidas por intervalo de tempo deve ser aproximadamente constante (ex.: número de isótopos que sofrem decaimento radioativo por intervalo de tempo: tempo de meia-vida). A distribuição de Poisson é dada por:

$P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}|\ x\in\mathbb{N}$

Modelo normal ou gaussiano

É o modelo mais usual e que melhor descreve as variáveis biológicas, por isso, é chamado de "normal". Cada distribuição pode ser completamente descrita pela média aritmética das variáveis e o desvio padrão, uma vez que:

$z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{\sigma}\ \forall i\in \mathbb{N}$

$\therefore x_i=z_i\cdot \sigma+\bar{x}$

A função que descreve a curva de distribuição é dada por:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\bar{x})^2}{2\sigma^2}}$

Porém, é mais comum a representação da média aritmética pela letra grega $\mu$, sendo possível encontrar a expressão como:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Como essa é uma distribuição de probabilidades, a área sob a curva é 1. Assim, se queremos saber a probabilidade de uma variável assumir uma valor que está contido em um intervalo [a,b], basta efetuar:

$$E = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

Por fim os intervalor mais importantes são $[\mu-\sigma, \mu +\sigma]$, $[\mu-2\sigma, \mu +2\sigma]$, $[\mu-3\sigma, \mu +3\sigma]$, que representam respectivamente $68,3\%$, $95,4\%$ e $99,7\%$ da distribuição.

https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/normal.html