Problema 1
Seja ABC um triângulo escaleno e acutângulo e $$N$$ o centro do círculo que passa pelos pés das três alturas do triângulo. Seja $$D$$ a interseção das retas tangentes ao circuncírculo de $$ABC$$ e que passam por $$B$$ e $$C$$. Prove que $$A$$, $$D$$ e $$N$$ são colineares se, e somente se, $$\angle BAC=45$$º.
Solução de Matheus Bezerra:
Usaremos aqui o fato (1) de $$N$$ ser o centro do círculo de 9 pontos de $$ABC$$, visto que ele é centro do círculo que passa pelos pés das alturas do triângulo.
Assim, sabemos que o centro $$N$$ do círculo de 9 pontos é o ponto médio do segmento que liga $$H$$ e $$O$$, que são os ortocentro e circuncentro do triângulo, respectivamente.
Como os segmentos $$BD$$ e $$CD$$ são tangentes ao circuncírculo, então, por ângulos semi-inscritos $$\angle BAC= 45$$º $$\Leftrightarrow \angle CBD= \angle BCD= \angle BAC= 45$$º $$\Leftrightarrow \angle BDC= 180$$º$$-\angle CBD-\angle BCD= 90$$º.
Agora, como $$O$$ é centro do circuncírculo de $$ABC$$, por ângulo central podemos afirmar também que $$\angle BAC= 45$$º $$\Leftrightarrow \angle BOC=2\cdot \angle BAC=2\cdot 45$$º$$=90$$º$$=\angle BDC$$. Assim, como $$BOC$$ e $$BDC$$ são ambos triângulos isósceles, isso acontece $$\Leftrightarrow$$ eles possuem dois ângulos congruentes e um lado em comum,o que ocorre $$\Leftrightarrow$$ eles são congruentes $$\Leftrightarrow$$ $$BOCD$$ é um paralelogramo. Logo, equivale a $$OD$$ e $$BC$$ intersectarem-se ao meio, e sendo $$M$$ o ponto médio de $$BC$$, é o mesmo que termos $$DM=MO$$.
Usaremos agora um fato(2) conhecido que afirma que a metade do comprimento de $$AH$$ equivale ao tamanho de $$OM$$. Com isso, temos que nossa hipótese acontece $$\Leftrightarrow$$ $$AH=2\cdot OM=OM+DM=OD$$, além de que por $$OD$$ e $$AH$$ serem ambos perpendiculares a $$BC$$, eles são paralelos entre si. De posse desses dois resultados, concluímos que a hipótese é válida $$\Leftrightarrow$$ $$ODHA$$ é paralelogramo, e então que $$AD$$ e $$OH$$ cortem-se ao meio. Mas já sabemos que $$N$$ é ponto médio de $$OH$$, o que nos permite concluir que isso ocorre se, e somente se, $$N$$ pertence a $$AD$$, como queríamos demonstrar $$\blacksquare$$
REFERÊNCIAS.
Consulte as provas dos fatos (1) e (2) no Lema 2.7 do material a seguir do Professor Rafael Filipe. Aproveito para recomendar o estudo desse material, que aborda muitos fatos importantes: