OBM 2018 - Nível 3 - P1

Problema 1

Dizemos que um polígono $P$ está inscrito em outro polígono $Q$ quando todos os vértices de $P$ pertencem ao perímetro de $Q$. Também dizemos nesse caso que $Q$ é circunscrito a $P$. Dado um triângulo $T$, sejam $l$ o máximo valor do lado de um quadrado inscrito em $T$ e $L$ o mínimo valor do lado de um quadrado circunscrito a $T$. Prove que, para todo triangulo $T$, vale a desigualdade $L/l\ge2$ e encontre todos os triangulos $T$ para os quais a igualdade ocorre.

Solução de Matheus Bezerra: 

Para simplificar a notação, consideraremos $l$ como a medida do lado de qualquer quadrado inscrito em $T$ e $L$ como a medida do lado de qualquer quadrado circunscrito a $T$, e calcularemos seus possíveis valores de máximo e mínimo, respectivamente.

$(i)$ Afirmação: O valor máximo possível de $l$ é $l=\sqrt{\dfrac{S}{2}}$.

Demonstração: Perceba que, ao inscrevermos um quadrado $Q_1$ no triângulo $T$, um dos lados de $Q_1$ deve estar completamente sobre um de $T$, visto que temos $4$ vértices de $Q_1$ para distribuir entre $3$ lados de $T$, o que obriga, por PCP, que dois dos vértices estejam em um mesmo lado. Suponha, sem perda de generalidade, que o lado $B'C'$ de $Q$ esteja sobre o lado $BC$ de $T$, como na figura acima.

Suponhamos que as medidas dos lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ e $\overline{AB}$ de $T$, sejam $a$, $b$ e $c$, respectivamente. Além disso, considere $AD=h$, onde $\overline{AD}$ é a altura de $T$ referente à $BC$ e que $S$ seja a medida da área de $T$.

Observe agora que $\triangle ABC\sim \triangle AA'D'$ (por $AAA$). Logo, temos:

$\dfrac{a}{h}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{A'D'}{AE}=\dfrac{BC-A'D'}{AD-AE}=\dfrac{a-l}{l}\implies al=ah-lh\implies l(a+h)=ah\implies l=\dfrac{ah}{a+h}$

Assim, por $MA\geq MG$:

$l=\dfrac{ah}{a+h}\leq \dfrac{ah}{2\sqrt {ah}}= \dfrac{\sqrt {ah}}{2}=\dfrac{\sqrt {2S}}{2}=\sqrt{\dfrac{S}{2}}$

Com isso, concluímos que o valor máximo de $l$ é $\sqrt{\dfrac{S}{2}}$ $\square$

$(ii)$ Afirmação: O valor mínimo possível de $L$ é $L=\sqrt{2S}$.

Demonstração: Perceba que o triângulo $T$ pode ter uma de suas bases sobre um dos lados do quadrado circunscrito $Q_2$, ou não, respectivamente figuras $1$ e $2$.

No primeiro caso, observe que, como uma das bases do triângulo (sem perda de generalidade, a base $BC$) está contida em um dos lados de $Q_2$, temos que $BC=a\leq L$ e o mesmo ocorre para a altura $h$ de $T$ referente à $BC$. Temos então que a área $S$ de $T$ é tal que

$S=\dfrac{a\cdot h}{2}\leq \dfrac{L\cdot L}{2}=\dfrac{L^2}{2}\implies L^2\geq {2S}\implies L\geq \sqrt {2S}$

Logo, segue que $\dfrac{L}{l}\geq \dfrac{\sqrt {2S}}{\sqrt {\dfrac{S}{2}}} = \sqrt 4 = 2$ (OK!).

Agora, no segundo caso, como cada ponto estará em um lado distinto de $Q_2$, haverá exatamente três lados consecutivos contendo um vértice de $T$. Considere então que $B$ seja o vértice no lado "central" em relação aos outros dois, e trace uma perpendicular ao lado do quadrado por $B$ que tocará o lado oposto de $Q_2$ em $E$ e o segmento $AC$ do triângulo em $D$, como na figura $2$. Assim, pelo mesmo argumento utilizado no caso anterior, a área $K$ do triângulo $ABD$ será no máximo igual à metade da área $K'$ do retângulo $A_1D_1EB$ e a área $M$ do triângulo $CBD$ será menor ou igual à metade da área $M'$ do retângulo $B_1C_1EB$. Com isso, também chegamos que $S=K+M\geq \dfrac{K'}{2}+\dfrac{M'}{2}=\dfrac{L^2}{2}$ e novamente temos que $L\geq \sqrt {2S}$, e segue como anteriormente, permitindo-nos concluir que em ambos os casos, $\dfrac{L}{l}\geq 2$, como queríamos demonstrar $\square$

$(iii)$ Resta-nos apenas encontrar os casos em que a igualdade ocorre. Observe que para que $l$ tenha exatamente seu menor valor possível, deve haver igualdade na desigualdade das médias utilizada e, portanto, uma das bases do triângulo deve ter mesma medida que sua altura correspondente. Além disso, para que $L$ assuma seu menor valor, é necessário que uma das bases do triângulo coincida com um lado do quadrado circunscrito e que a altura correspondente a ela também meça o mesmo comprimento que o lado do quadrado, para que a área do triângulo seja exatamente metade da área deste. Assim, os triângulos $T$ para os quais a igualdade ocorre são aqueles no qual um de seus lados (de medida $a$, por exemplo) mede o mesmo que sua altura, sendo este o menor lado do triângulo, tendo $l=\dfrac{a}{2}$ e $L=a$ $\blacksquare$