Aplicações da Trigonometria Esférica

Por Bruna Lopes

Na seção passada, vimos algumas técnicas de trigonometria esférica usadas para relacionar diferentes medidas angulares em triângulos esféricos. Isso nos apresenta muito útil pois todos os nossos sistemas de coordenadas utilizados são esféricos e, por tanto, usando tais métodos, conseguimos calcular distâncias angulares entre objetos astronômicos, a evolução de suas coordenadas ao longo do tempo ou até mesmo passar de uma coordenada para outra.

Triângulo de posição

Um exemplo de aplicação na astronomia de trigonometria esférica é o que chamamos, para um sistema cujo referencial é centrado no observador, de Triângulo da de posição, ou, como eu gosto de chamar, Triângulo da PAZ! O nome estranho deve-se ao fato de que tal triângulo possui como vértices o Polo, o Astro que queremos analisar e o Zênite. Com ele, conseguimos encontrar uma relação simples entre coordenadas equatoriais e horizontais.

Consideremos a figura abaixo:

A partir dela, podemos tirar algumas relações:

Aplicando a lei dos cossenos esférica para o lado de medida $90^{\circ}-H$, obtemos

$\cos{90^{\circ}-h}=\cos{90^{\circ}-|\phi|}\cos{90^{\circ}-|\delta|}+\sin{90^{\circ}-|\phi|}\sin{90^{\circ}-|\delta|}\cos{H}$

$\sin{h}=\sin{|\phi|}\sin{|\delta|}+\cos{|\phi|}\cos{|\delta|}\cos{H}$    (1)

$\sin{\delta}=\sin{|\phi|}\sin{h}+\cos{|\phi|}\cos{h}\cos{A}$   (2)

Podemos fazer o mesmo para os demais lados, caso conheçamos todos os valores angulares relevantes para tal. Devemos observar com carinho, no entanto, qual o valor de ângulo exato que entraria no lugar do azimute. Para localidades no hemisfério norte, tal ângulo seria o próprio valor de azimute $A$. No hemisfério sul, entretanto, como o azimute é contado no sentido NESO (Norte, Leste, Sul, Oeste), devemos colocar $180^{\circ}-A$.

Aplicando a lei dos senos esférica, obtemos

$\frac{\sin{90^{\circ}-h}}{\sin{H}}=\frac{\sin{90^{\circ}-\delta}}{\sin{A}}$   (3)

$\frac{\cos{h}}{\sin{H}}=\frac{\cos{\delta}}{\sin{A}}$   (4)

 

Determinação do H de nascer ou ocaso

Utilizando o triângulo esférico visto no item acima, nós conseguimos, entre outras coisas, determinar o tempo que um astro fica acima do horizonte ! Isso deve-se pois, como o ângulo horário de um astro, por definição, é 0h quando está sobre o meridiano local e 12h quando culmina inferiormente, então os valores são simétricos com relação ao plano meridiano. Assim, o módulo do ângulo horário do nascer deve ser igual ao do ocaso! Mas, como calcular isso?

Sabemos que, em ambos os momentos, $h_{nascer}=h_{ocaso}+0^{\circ}$. Portanto, utilizando a relação (1) e substituindo o valor da altura, obtemos

$\cos{H}=-\tan{\phi}\tan{\delta}$

Logo, o tempo que o astro permanece acima do horizonte é

$t_{horizonte}=2H$

Mudança de coordenadas

Um dos métodos de mudança de coordenadas é utilizando a geometria esférica! Vamos supor a seguinte situação: Queremos saber quando (ou seja, em que data) que o sol estará com uma determinada ascensão reta, dado que sua velocidade angular$\omega$ é constante e a inclinação da eclíptica, com relação ao equador, é $\epsilon$. Bom, vamos desenhar a situação:

De tal triângulo, utilizando as relações entre ângulos da geometria esférica, podemos encontrar

$\cos{\omega t}=\cos{\delta}\cos{\alpha}$

$\sin{\delta}=\sin{\epsilon}\sin{\omega t}$

Para resolvermos a situação proposta inicialmente, podemos substituir o valor de $\delta$, pela primeira, na segunda equação e iterar o resultado (se essa palavra soou estranha, sugiro que deem uma olhada na ideia 16)

$\cos{\omega t}=\cos{\alpha}\cos{\arcsin{\sin{\omega t}\sin{\epsilon}}}$

Mudança de coordenadas devido à precessão

A precessão consiste em um movimento de rotação do eixo polar terrestre em torno de um eixo normal ao plano da eclíptica. Uma das consequências de tal movimento é a mudança nas coordenadas dos objetos celestes!

Nós já possuímos uma ideia sobre precessão dos equinócios, então eu peço para que entrem no link e deem uma checada!

Determinação de distâncias angulares

Na astronomia observacional, uma ferramenta muito útil para estimar alguma posição ou horário são as chamadas réguas astronômicas, ou seja, a distância angular entre algumas estrelas de referência. Da mesma forma que fizemos nos tópicos anteriores, podemos usar métodos da geometria esférica para determinar tais distâncias.

Uma referência muito conhecida no céu do sul é o chamado Triângulo do sul, cujos vértices são as estrelas mais brilhantes das constelações de Órion, Cão Maior e Cão Menor: Sirius, Betelgeuse e Procyon. Vamos encontrar a distância angular entre $\alpha$ Ori e $\alpha$ CMa, então. Observemos a imagem:

Temos um triângulo esférico cujos vértices são o Polo Norte, $\alpha$ Ori e $\alpha$ CMa e os lados possuem medidas $90^{\circ}-{\delta}_B$ ,$90^{\circ}-{\delta}_S$ e d, que é o que queremos encontrar. Sbemos, também, que o ângulo entre os arcos que ligam o polo aos astros é ${\alpha}_S-{\alpha}_B$. Podemos aplicar, então, a lei dos cossenos esférica para o lado d:

$\cos{d}=\cos{(90^{\circ}-{\delta}_B)}\cos{(90^{\circ}-{\delta}_S)}+\sin{(90^{\circ}-{\delta}_B)}\sin{(90^{\circ}-{\delta}_S)}\cos{{(\alpha}_S-{\alpha}_B)}$

Sabendo os valores de ${\delta}_B, {\delta}_S, {\alpha}_S$ e ${\alpha}_B$, podemos, então, encontrar d facilmente

$d\approx 24^{\circ}$