Conceitos Fotométricos

Por Lucas Shoji

Nesse capítulo apresentaremos alguns conceitos importantes, sendo eles a luminosidade, o fluxo, a densidade de fluxo, o brilho superficial e a intensidade. Os três últimos não costumam ser cobrados na seletiva presencial de Barra do Piraí, então você não precisa compreender eles totalmente se estiver com pressa nessa fase.

Luminosidade e Fluxo

A luminosidade ($L$) é a energia eletromagnética total que um corpo emite por unidade de tempo, ou seja, uma potência luminosa. Assim, a luminosidade é $L=dE/dt$, muitas vezes aproximada para $L \approx \Delta E /\Delta t$. As unidades utilizadas principalmente são o watt ($W$), do SI, e o  $erg*s^{-1}$, das unidades cgs. É importante notar que a luminosidade não depende do quão longe estamos do corpo, diferentemente do fluxo, conceito que veremos a seguir.

O fluxo ($F$) ou irradiância ($S$) é a energia incidida em uma dada superfície por unidade de tempo por unidade de área: $dE =F dA dt$ (Figura abaixo). As unidades principais do fluxo são o $W*m^{-2}$ e o $erg*s^{-1}*cm^{-2}$. Em exercícios, normalmente a emissão de luz é isotrópica (não depende da direção) e o fluxo se reduz à razão da luminosidade (energia total) pela área total emitida ($4 \pi r^2$, se estivermos a uma distância $r$ do corpo emissor). Representando matematicamente, $F=\frac{L}{4 \pi r^2}$, sendo possível ver que o fluxo cai com o quadrado da distância ao corpo - assim como o "brilho" subjetivo do dia a dia. Quanto mais distante estamos de um objeto luminoso, a luminosidade é distribuída por uma área maior e menos brilhante o objeto é. Assim, quando um exercício de astronomia fala de "brilho", está falando de fluxo. É importante ressaltar também que a área considerada no cálculo do fluxo é a área transversal, ou seja, perpendicular à transmissão de energia (Figura à direita).

A lei de Stefan-Boltzman diz que o fluxo na superfície de um corpo negro é $F=\sigma T^4$. Considerando o mesmo para as estrelas, e assumindo-as esféricas, temos:

$F=\frac{L}{4\pi R^2}=\sigma T_{ef}^4 \Rightarrow L=4 \pi R^2 \sigma T_{ef}^4$

sendo $R$ o raio da estrela e $T_{ef}$ a temperatura efetiva da estrela, visto que ela não está exatamente em equilíbrio termodinâmico.

Densidade de fluxo, brilho superficial e intensidade

Muitas vezes, queremos saber o fluxo em um intervalo específico de frequências, entre $\nu$ e $\nu +d\nu$. Podemos definir a densidade de fluxo ($S_\nu$), irradiância espectral ou fluxo monocromático ($F_\nu$) como sendo esse fluxo limitado por um intervalo de frequências:

$dE=F_\nu dA d\nu dt$

Na maioria dos exercícios de astronomia, é utilizada a média da irradiância espectral, com isso $S_\nu \approx \frac{\Delta E}{\Delta \nu \Delta A \Delta t}$. Também, podemos definir um conceito similar num intervalo de comprimento de onda, $S_\lambda$. É válida a relação

$F=\int_0^\infty S_\nu d\nu =\int_0^\infty S_\lambda d\lambda$.

As unidades mais comuns para a irradiância espectral são, para a frequência, o $W*Hz^{-1}*m^{-2}$ e o Jansky ($1 Jy = 10^{-26} \frac{W}{{Hz}*m^2}$), e para o comprimento de onda o $W*m^{-3}$ e o $W*m^{-2}*{nm}^{-2}$.

Para corpos extensos, costumamos definir um brilho superficial ($B$) como o fluxo dividido pela área do céu em que ele ocupa: $B= S / \omega$, onde $\omega$ é o ângulo sólido, um equivalente 3D do ângulo (ver figura abaixo). Note que o brilho superficial não varia com a distância, pois o ângulo sólido também cai com a distância ao quadrado. É possível também definirmos um brilho superficial espectral, de forma análoga ao fluxo monocromático.

A maioria dos livros define também um conceito mais geral chamado intensidade ($I$) ou radiância, que é a potência por unidade de área por unidade de ângulo sólido em uma dada direção. É possível provar (Cap.4, Karttunen) que a intensidade se iguala ao brilho superficial a distâncias muito grandes e com emissão isotrópica. Infelizmente (talvez felizmente), o conceito de intensidade não é tão cobrado em olimpíadas, e a maior parte dos exercícios desse assunto são sobre calcular a radiância espectral por uma das aproximações da lei de Planck (vide capítulo de Astrofísica estelar e planetária), igualando isso ao brilho superficial. Na física, o nome intensidade é usado para o fluxo, e o nome fluxo radiante para luminosidade, então cuidado com os nomes.

Exercícios

1. Se a Lua reflete cerca de $7$% da luz solar incidida, por que a luz da Lua é 100 mil vezes mais fraca que a do Sol?

2. Qual tem maior brilho superficial, Betelgeuse, Vênus ou sua mão? (Não olhe a tabela de constantes!)

3. Qual o valor da constante solar, o fluxo solar na superfície terrestre? Dê sua resposta em erg/s*cm².

4. Sobre a nossa Lua, responda:

a) Por quantas vezes o Sol é mais brilhante que a Lua Cheia?

b) Qual o brilho superficial da Lua?

Dados: $L_\odot=3,828*10^{26}$W, $1$UA $=1,496*10^{11}$m, $a_{Lua}=0,002572$UA, $R_{Lua}=1737$km, $\alpha_{Lua}=0,136$.