Cônicas

Quando Johannes Kepler organizou os dados de Tycho Brahe sobre as posições de planetas no céu, viu que, num modelo heliocêntrico, a forma que melhor se ajustava às órbitas planetárias era uma elipse. Você pode estar se perguntando: "O que é uma elipse, afinal?"

É exatamente essa uma das perguntas que responderemos aqui! Veremos na próxima aula a razão pela qual objetos cujo movimento é governado por uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância tem trajetórias elípticas, e, generalizando, cônicas.

Agora você pode estar extremamente confuso: "Como assim cônicas? A órbita é tridimensional? Isso não faz sentido!!!"

Calma!

As curvas cônicas são assim chamadas porque seu formato pode ser obtido cortando um cone a diferentes ângulos.

Veja a figura abaixo:

Perceba que se cortamos o cone numa inclinação de zero, temos uma circunferência; se cortamos numa inclinação entre zero e a inclinação da geratriz, temos uma elipse; se cortamos na mesma inclinação da geratriz, temos uma parábola; e se cortamos numa inclinação maior que a da geratriz, temos uma hipérbole. É desse processo que se origina a denominação cônica para essas curvas.

Agora, vamos descrevê-las no plano cartesiano, em coordenadas cartesianas e polares!

Primeiro, a elipse!

No plano cartesiano, imagine dois pontos, que chamaremos de focos, $F_1$ e $F_2$, distando $2c$ um do outro. A elipse será definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante e igual a $2a$.

Não conseguiu imaginar? Confira a figura abaixo:

Perceba que $d_1+d_2=2a$ para todos os pontos da elipse.

Também perceba que o ponto $B_1$ da elipse, equidistante a $F_1$ e a $F_2$, nos possibilita enxergar uma propriedade importante da elipse:

$a^2=b^2+c^2$

Perceba também que:

$2a=$ eixo maior

$a=$ semi-eixo maior

$2b=$ eixo menor

$b=$ semi-eixo menor

$2c=$ distância focal

Com o auxílio das figuras acima, vamos determinar a equação cartesiana da elipse.

$d_1+d_2=2a$

$\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a$

É deixado como desafio mostrar que:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Antes de partirmos para  a equação polar da elipse, é importante introduzir a definição de excentricidade.

A excentricidade mede o achatamento da elipse e é definida como a razão entre a distância focal e o eixo maior. Se tivermos  uma elipse onde essas grandezas são iguais, ou seja, excentricidade igual a um, teremos uma linha reta. Se tivermos uma elipse onde a distância focal é zero, ou seja, de excentricidade 0, teremos um círculo. Perceba: o círculo é um caso particular de elipse!

Ou seja:

$e=\frac{c}{a}$

Agora, podemos chegar à equação polar da elipse. A diferença entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas é que, enquanto as cartesianas se baseiam em dois eixos para descrever a posição de um ponto no plano, as polares se baseiam na distância até um ponto escolhido como origem e o ângulo contado a partir de uma determinada semi-reta em um determinado sentido. Normalmente, a semi-reta escolhida é a parte positiva do eixo $x$ e o sentido no qual o ângulo é contado é o anti-horário. Também mudaremos a posição da origem. Ela ficará em um dos focos da elipse. Assim, confira a figura abaixo:

 

Pela lei dos cossenos, temos:

$(2a-r)^2=r^2+(2c)^2-4rc(cos\theta)$

Fica como desafio para o leitor mostrar que:

$r(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1-ecos\theta}$

Vamos falar agora sobre as parábolas!

Uma das definições de parábola é a conjunto de todos os pontos que distam igualmente de uma reta, chamada de diretriz, e de um ponto que não está nesta reta, chamado de foco. O ponto da parábola mais próximo da diretriz se chama vértice, e ele dista p/2 da diretriz e do foco.

Assim, se colocarmos o vértice na origem do ponto cartesiano, e a diretriz paralela ao eixo y:

 

 

Podemos escrever:

$d_1=d_2$

$\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+\frac{p}{2})^2+(y-y)^2}$

É deixado como desafio mostrar que:

$2px=y^2$

Agora, vejamos a equação polar. Convém colocar o foco da parábola na origem:

Assim, temos que:

$r^2=(r-p)^2+(rcos(\theta))^2$

Desenvolvendo a expressão, surgem dois possíveis resultados:

$r(\theta)=\frac{p}{1-cos(\theta)}$

ou

$r(\theta)=\frac{p}{1+cos(\theta)}$

No entando, analisando as condições determinadas pela figura, temos que $r(180^{\circ})=\frac{p}{2}$. Isso só é satisfeito se:

$r(\theta)=\frac{p}{1-cos(\theta)}$

Se $\theta$ fosse contado a partir do outro lado, teríamos:

$r(\theta)=\frac{p}{1+cos(\theta)}$

Agora, vamos à hipérbole!

Sejam dois pontos, $F_1$ e $F_2$, distando $2c$ um do outro, chamados de focos. A hipérbole será o conjunto de pontos cujo módulo da diferença das distâncias a cada um dos focos é constante e igual a $2a$.

Confira a figura abaixo:

 

Para chegarmos à equação cartesiana da hipérbole, podemos escrever:

$d_1 - d_2 = \pm 2a$

$\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}-\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}= \pm 2a$

É deixado como desafio mostrar que:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Agora, vamos chegar à equação polar da hipérbole:

Confira a figura abaixo:

A partir dela, e sabendo também que a excenticidade de uma hipérbole é definida como $e=\frac{c}{a}$, podemos dizer que:

$(2a+r)^2=r^2+4c^2-4rccos(180^{\circ}-\theta)$ (lei dos cossenos)

Fica como desafio mostrar que:

$r(\theta)=\frac{a(e^2-1)}{1-ecos\theta}$

Vamos retomar as equações polares das três cônicas:

Elipse:

$r(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1-ecos\theta}$

Parábola:

$r(\theta)=\frac{p}{1-cos(\theta)}$

Hipérbole:

$r(\theta)=\frac{a(e^2-1)}{1-ecos\theta}$

Perceba a semelhança gigantesca entre as três equações. Veremos na aula sobre leis de conservação a ligação física entre essas três cônicas.