Redshift e Lei de Hubble

Por Tiago Lucio

Deslocamento de Linhas Espectrais

Na astronomia, o efeito Doppler pode ser visto em espectros estelares, em que as linhas espectrais são frequentemente deslocadas para o azul (blueshift), ocorrendo uma diminuição no comprimento de onda, ou para o vermelho (redshift), ocorrendo um aumento no comprimento de onda. Um blueshift significa que a estrela está se aproximando, enquanto um redshift indica que ela está se afastando.

Na imagem acima é possível perceber que as linhas de absorção são deslocadas para a direita (aumento de comprimento de onda) no redshift e são deslocadas para a esquerda (diminuição do comprimento de onda) no blueshift. Isso se deve ao fato de que o redshift $z$ de um espectro pode ser definido em função dessa variação do comprimento de onda, $\Delta \lambda$ , e do comprimento de onda emitido, $\lambda_0$ , por:

$z \equiv \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \Longrightarrow \boxed{ z = \dfrac{\lambda}{\lambda_0} - 1}$

Tipos de Redshift

Efeito Doppler

O redshift ou blueshift é causado pela velocidade radial (velocidade relativa de recessão) da estrela e pode ser aproximado por:

$z \approx \dfrac{v_r}{c},\quad$ para $\quad z<0,1$

$\boxed{v_r = c\cdot \left(\dfrac{\lambda}{\lambda_0} - 1\right)}$

Dedução

Para velocidades não relativísticas ( $v \ll c$ ), podemos aproximar a variação do comprimento de onda da radiação pela distancia percorrida pela estrela no período necessário para a onda completar uma oscilação completa, $T$ , como pode ser notado na imagem abaixo:

$\lambda_0 = c\cdot T\quad$ e $\quad\Delta \lambda = v_r\cdot T$

$z = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v_r\cdot T}{c\cdot T}\Longrightarrow z = \dfrac{v_r}{c}$

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Redshift pela Variação da frequência

Em alguns exercícios é dado a variação da frequência $\Delta \nu$ e a frequência emitida pela fonte $\nu_0$ , para calcular a velocidade radial ou o redshift utilizando esses valores:

$c = \nu \cdot \lambda \Longrightarrow \nu = \dfrac{c}{\lambda}$

$z = \dfrac{v_r}{c} = \dfrac{\nu_0-\nu}{\nu} \Longrightarrow \boxed{v_r = c\cdot \left(\dfrac{\nu_0}{\nu}-1\right)}$

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Logo, para velocidades radiais positivas (fonte se afastando), ocorre o redshift ( $z>0$ e $\Delta \lambda > 0$ ) e para velocidades radiais negativas (fonte se aproximando), ocorre o blueshift ( $z<0$ e $\Delta \lambda < 0$ ).

Efeito Doppler Relativístico

Para velocidades mais próximas da velocidade da luz, é necessário utilizar a seguinte fórmula para calcular o redshift:

$\boxed{1+z=\sqrt{\dfrac{1+\frac{v_r}{c}}{1-\frac{v_r}{c}}}}$

Reorganizando a equação, obtemos:

$v_r = c\cdot \dfrac{(1+z)^2-1}{(1+z)^2+1}$

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Redshift Cosmológico

O comprimento de onda dos fótons emitidos por galáxias muito distantes é alongado a medida que ele viaja através do espaço em expansão. Veremos mais sobre esse redshift mais para a frente.

Obs.: nesse caso a fonte está em repouso, o redshift é dado somente por causa da expansão do universo.

Redshift Gravitacional

Esse redshift ocorre pela distorção do espaço-tempo próximo a campos gravitacionais muito intensos, alterando, assim, o comprimento de onda dos fótons. Não vamos entrar em detalhes de como calcular esse redshift, pois essa matéria somente é necessária para a seletiva de Vinhedo.

Lei de Hubble

Em 1923, o astrônomo Edwin Hubble, ao analisar o espectro de várias galáxias, percebeu que eles estavam desviados para o vermelho (redshift cosmológico) e que, consequentemente, as galáxias estavam se afastando de nós, com exceção das mais próximas da Via Láctea, que estão sendo atraídas gravitacionalmente. Além disso, ao medir as distâncias e as velocidades radiais (velocidade de recessão) de cada galáxia, ele notou experimentalmente que esses valores estavam relacionados linearmente, formulando assim a Lei de Hubble:

$v_r = H_0 \cdot d$

Onde $H_0$ é a constante de Hubble, que vale aproximadamente $67,8 \ \frac{{km/s}}{Mpc}$ ( $1\ Mpc = 10^6 pc$ ). Assim, quanto mais distante uma galáxia está, mais rapidamente ela está se afastando de nós. Essa relação pode ser facilmente observada no gráfico a seguir:

Além disso, podemos utilizar as mesmas fórmulas do Efeito Doppler para calcular o redshift gravitacional, onde $v_r$ é a velocidade radial das galáxias devido a expansão do universo, portanto, para velocidades não relativísticas:

$\boxed{z = \dfrac{H_0}{c}\cdot d}$

Observações

Preste muita atenção na unidade da Constante de Hubble. A distancia, $d$ , deve ser utilizada em $Mpc$ para obter a velocidade radial $v_r$ em $km/s$ .
Muitas galáxias possuem redshifts maiores que 1 e isso não vai implicar em velocidades radiais maiores que a velocidade da luz, pois, para esses redshifts, a velocidade radial deve ser calculada utilizando a fórmula de redshift relativístico. O maior redshift conhecido é o do quasar ULAS J $1342+0928$ com $z = 7,54$ .
A Lei de Hubble só é válida para distâncias muito grandes (na ordem de $100 Mpc$ ), pois para distâncias menores, a força gravitacional supera a expansão do universo. Já o Efeito Doppler é sempre válido, desde que utilize a equação relativística ou a aproximação $z \approx \frac{v_r}{c}$ para $v \ll c$ .

Exercício Desafio

Calcule a qual distância o quasar ULAS J $1342+0928$ está de nós.

Gabarito

Utilize a Fórmula do Redshift relativístico para encontrar a velocidade radial do quasar e, com a Lei de Hubble, estime a sua distância (ly é a unidade para anos-luz):

$\boxed{d \approx 4,31 \ Gpc \approx 14,0\cdot 10^9\ ly}$

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