Dinâmica Relativística

Por Fabrizio Ferro

Existem poucas interações físicas mais simples do que a colisão. Seja a colisão de dois carros, duas bolinhas de gude ou duas partículas elementares, a simplicidade das interações é “garantida” pela conservação de duas quantidades: Energia e Momento. Uma série de acidentes históricos fez com que enxergássemos momento e energia como duas identidades separadas, assim como se fazia com espaço e tempo.  A invariância do intervalo do espaço-tempo requer que o momento e a energia sejam combinados de forma a produzir uma quantidade invariante: Momento-Energia. Mas preste atenção no que eu não estou dizendo: Eu não estou dizendo que energia e momento são idênticos, apenas que a união deles, Momento-Energia, fornece uma unificação poderosa da física, assim como o Espaço-Tempo.

Momento-Energia

Observações simples vão revelar que o Momento-Energia de uma partícula é na verdade um quadrivetor no espaço-tempo que tem magnitude proporcional a massa da partícula. Nossa experiência com a união do espaço-tempo nos faz esperar que a “seta” do momento-energia vai possuir três componentes, correspondendo às três dimensões espaciais, e um quarto componente correspondendo ao tempo. Os seus três “componentes espaciais” representam o momento da partícula. O “componente espacial” representa a energia.

A direção do quadrivetor do momento-energia de uma partícula é tangente a sua Weltline (i.e. “linha de mundo”, “Worldline” ou qualquer variação linguística do mesmo conceito). Não existe nenhuma outra direção que ele poderia naturalmente apontar. O espaço-tempo é isotrópico, ele não possui nenhuma direção de preferência, só o movimento de uma partícula oferece uma direção natural. O deslocamento no espaço-tempo de uma partícula possui quatro componentes, e também é um quadrivetor.

Em resumo, o momento-energia de uma partícula é um quadrivetor tangente a sua Weltline e com magnitude proporcional a sua massa. Vamos agora considerar uma partícula se movendo com velocidade $V$ em relação a um referencial $\mathcal{K}$. Se $E$ representa a energia, e $p$ o momento de uma partícula no referencial $\mathcal{K}$, a combinação invariante dessas duas quantidades é:

$\frac{E^2}{c^2}-{p}^{2}=m^2c^2$       (1)

Definimos $E$ como:

$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\gamma\ mc^2$       (2)

E $p$ como:

$p=\frac{mV}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\gamma\ mV$       (3)

Para obter $V$ em função de $E$ e $p$, dividimos (2) por (3), obtendo:

$V=\frac{p}{E}c^2$      (4)

É fácil de perceber que $p$ é reduzido a expressão clássica (i.e. $mV$) no regime não-relativístico ($V\ll c$). Mas isto não é tão evidente para $E$. Vamos expandir a expressão de $E$ em uma série de Taylor:

$E=mc^2+\frac{1}{2}mV^2+\frac{3}{8}m\frac{V^4}{c^2}+\cdots$       (5)

O primeiro termo da expressão (5) é chamado de energia de repouso, ${E}_{0}$, pois é independente da velocidade.

${E}_{0}=mc^2$       (6)

A energia cinética $K$ é a soma dos termos restantes, ou seja:

$K=\frac{1}{2}mV^2+\frac{3}{8}m\frac{V^4}{c^2}+\cdots$

É possível perceber que para $V\ll c$ a energia cinética é reduzida à expressão clássica (i.e. $\frac{1}{2}mV^2$). Podemos reescrever $E$ como:

$E={E}_{0}+K$       (7)

Podemos obter uma expressão mais concisa de $K$ substituindo (2) e (6) em (7):

$\gamma\ mc^2=mc^2+K$

$K=mc^2(\gamma - 1)$       (8)

Uma observação interessante—na verdade mais uma curiosidade matemática, que não deve ser levada muito a sério—das equações (2) e (3) é que, aparentemente, assim como na mecânica clássica, partículas sem massa seriam “fantasmas dinâmicos” (i.e. $E=0$ e $p=0$). Mas existe uma brecha, Se $m=0$ e $V=c$, tanto os numeradores quanto os denominadores serão $0$ (i.e. $\frac{0}{0}$), e a expressão é indeterminada. Geralmente quando você encontra $\frac{0}{0}$ é hora de parar, mas vamos nos divertir mais um pouco. $\frac{a}{b}$ busca um número $n$ que satisfaz $n\times b=a$, mas no caso que $a=b=0$, $n$ pode assumir qualquer valor; analogamente, quando $m=0$ e $V=c$, $E$ pode assumir qualquer valor e deve ser determinado de outra maneira. Isto pareceria uma piada se não fosse verdade. Fótons podem assumir diversos valores de $E$,que são determinados por outra equação ($E=h\nu$).

Quadrivetor do Momento-Energia

Como já foi mencionado, o quadrivetor do momento-energia possui quatro componentes, três relacionados ao momento (pois o momento em si é um “trivetor”) e um relacionado a energia. Durante o resto de nossa análise, um quadrivetor qualquer será representado da seguinte maneira:

$\vec{A}=({a}^{0}, {a}^{1}, {a}^{2}, {a}^{3})$

Já um vetor tridimensional qualquer será representado da seguinte maneira:

$\vec{b}=({b}^{0}, {b}^{1}, {b}^{2})$

Os quadrivetores sempre serão representados por uma letra maiúscula, para evitar confusão. Assim, o quadrivetor do momento-energia em um referencial $\mathcal{K}$ será representado por:

$\vec{P}=(\frac{E}{c}, {p}_{x}, {p}_{y}, {p}_{z})$

Onde $E$ representa a energia, e ${p}_{x}, {p}_{y}, {p}_{z}$ representam, respectivamente, os componentes do vetor do momento $\vec{p}$.

Conservação e Invariância

O quadrivetor do momento-energia de um sistema de partículas é conservado. Oque isso significa? Suponha um sistema de partículas isolado, em um determinado instante (${t}_{1}$), em um sistema de referência $\mathcal{K}$. Este sistema pode ser constituído por uma partícula elementar, várias partículas elementares ou uma pessoa. Não importa. Agora espere um pouco, veja as particula interagirem (ou não) até outro instante (${t}_{2}$). Se $\vec{{P}_{1}}$ for o quadrivetor do momento-energia no instante ${t}_{1}$ no sistema de referência $\mathcal{K}$, e $\vec{{P}_{2}}$  o quadrivetor do momento-energia no instante ${t}_{2}$ no sistema de referência $\mathcal{K}$. Então a conservação do quadrivetor do momento-energia implica que:

$\vec{{P}_{1}}=\vec{{P}_{2}}=\vec{P}$

Supondo que o mesmo sistema (e suas interações) foi observado em um sistema de referência $\mathcal{K'}$, se movendo com velocidade $V$ em relação a $\mathcal{K}$. Se $\vec{{P'}_{1}}$ for o quadrivetor do momento-energia no instante ${t'}_{1}$ no sistema de referência $\mathcal{K'}$, e $\vec{{P'}_{2}}$  o quadrivetor do momento-energia no instante ${t'}_{2}$ no sistema de referência $\mathcal{K'}$. Então a conservação do quadrivetor do momento-energia implica que:

$\vec{{P'}_{1}}=\vec{{P'}_{2}}=\vec{P'}$

Além disso, o módulo do quadrivetor do momento-energia de um sistema de partículas é invariante. Oque isso significa? Ainda considerando o sistema anterior, a invariância do módulo do quadrivetor do momento-energia implica que:

$P=P'$

Note a palavra “módulo”, pois no geral (tirando o caso trivial em que $V=0$ ou $V=c$) $\vec{P}\neq \vec{P'}$. Consequentemente, a energia e o momento de um sistema não serão necessariamente os mesmos em todos os referenciais. Em outras palavras, energia e momento são quantidades que se conservam em um referencial, mas não são invariantes a uma troca de referencial. Reforçando que, como o espaço-tempo é um espaço pseudo-euclidiano quadridimensional, o módulo do momento energia $P$ é dado por:

$P^2=\frac{E^2}{c^2}-{p}^{2}=m^2c^2$

ou:

$P^2=\frac{E^2}{c^2}-{{p}_{x}}^{2}-{{p}_{y}}^{2}-{{p}_{z}}^{2}=m^2c^2$