Astronomia - Ideia: Eclipse Lunar

Por Lucas Shoji

Abordaremos nessa ideia algumas ferramentas básicas para resolução de problemas envolvendo eclipses lunares.

Coordenadas da Lua

Quando um eclipse lunar acontece, a Lua está oposta ao Sol. Assim

$\alpha_S = 180^o+\alpha_L$ e $\delta_S = -\delta_L$

Podemos calcular as coordenadas do Sol em uma certa data no ano, pelo seguinte triângulo:

 

Pela lei dos senos:

${\sin\delta_s \over \sin \varepsilon} = {\sin\lambda_s \over \sin 90^o} \Rightarrow \delta_s= \sin^{-1}(\sin\lambda_s \sin \varepsilon)$

Pela lei das cotangentes:

$\cos \varepsilon \cos \alpha_s = \sin \alpha_s \cot \lambda_s - \sin \varepsilon \cot 90^o \Rightarrow \alpha_s=\tan^{-1}(\cos\varepsilon \tan\lambda_s)$

Podemos substituir $\lambda_s$, a longitude eclíptica do Sol, por:

$\lambda_s = \omega_s t = {360^o \over 365, 25} N$

onde $N$ é o número de dias após o equinócio vernal, evento em que $\lambda_s=0$. Por exemplo, $N(1/4) = 11$ pois a data é aproximadamente 11 dias após o equinócio.

Para obtermos as coordenadas da Lua, basta substituir nas transformações dadas acima.

Duração do eclipse total

Nessa seção vamos estimar o tempo de duração de um eclipse total lunar. Vejamos o seguinte esquema:

O último segmento representa o raio da sombra causada pela Terra, $\rho$, no plano da Lua, a distância $d$. A Terra está a uma distância $L$ do Sol. Por trigonometria:

$\alpha \approx {R_s-R_t \over L} \approx {R_t-\rho \over d} \Rightarrow \rho= R_t-{d \over L}(R_s-R_t)$

Podemos também por essa figura ver o limite de distância para que aconteça um eclipse anular lunar, igualando $\rho$ a $R_L$. Como essa distância limite é maior que $a_L(1+e_L)$, portanto essa situação infelizmente nunca acontece com a nossa Lua.

Com $\rho$, conseguimos calcular o deslocamento escalar da Lua dentro do cone de sombra da Lua:

$\Delta S = 2\sqrt{(\rho-R_L)^2-x_{min}^2} = V_L \Delta t$

Onde $V_L=\sqrt{GM(2/d-1/a_L)}$ é a velocidade da Lua, $\Delta t$ é a duração do eclipse e $x_{min}$ é a mínima distância que a Lua atinge do centro da sombra.  Note que não precisamos considerar a velocidade da Terra, pois $V_L$ já está no referencial da Terra. Substituindo valores, conseguimos obter $\Delta t$ em função dos parâmetrros relevantes.

Quando preciso, $x_{min}$ pode ser calculado pela latitude eclíptica da Lua, $\beta_L$:

$x_{min} \approx \beta_L d$

$\beta_L$, por sua vez, pode ser obtido por um método semelhante ao de descobrir as coordenadas do Sol, como mostrado acima. Para isso, basta substituir $\delta_s$ por $\beta_L$, $\varepsilon$ por $i$, a inclinação orbital da Lua, e $\omega_S$ por $\omega_L$, velocidade angular da Lua usando o período sinódico (pois estamos vendo em relação ao Sol). Isso também pode ser usado para estimar quando acontece um eclipse total e quando um parcial. A situação limite é dada igualando $x_{min}$ a $\rho - R_L$.

 

Exercícios para treinar essa ideia:

NAO 2019 P2

ROSAOC 2008 P3

Problemas NOIC da semana 52 - Avançado