Astronomia - Ideia: Forças de Maré e o Limite de Roche

Por Giulia Nóbrega

Forças de maré

Na maior parte do tempo, quando resolvendo exercícios, assumimos os planetas e seus satélites como pontuais. Se considerarmos no entanto que estes são corpos extensos, a interação gravitacional entre 2 corpos ganha um novo componente: a força de maré. A força de maré nada mais é do que a força correspondente à diferença da aceleração gravitacional entre 2 pontos de um mesmo corpo devido à interação com um outro corpo.

Como podemos ver na figura abaixo, os pontos mais próximos ao corpo 2 sofrem uma força gravitacional maior (em módulo) e, portanto, estão sujeitos a uma aceleração maior.

Analisando para o sistema Terra-Lua, tomemos um ponto na superfície da Terra que não se encontra na reta que une os centros de massa dos 2 corpos. Neste ponto colocaremos uma massa de teste ($m$) de tal modo que $m\ll M_T$ e $m\ll M_L$.

 

 

Perceba que temos interesse em analisar a situação no referencial da Terra, uma vez que é o referencial em que estamos. Entretanto, a própria Terra acelera para a direita com aceleração $\dfrac{GM_L}{r^2}$ devido à atração gravitacional da Lua. Dessa maneira, para levar em conta que o nosso referencial é não inercial, ou seja, acelera com relação a um referencial inercial, todos os corpos vistos da Terra possuem uma aceleração adicional $-\dfrac{GM_L}{r^2}$, que equivale a dizermos que uma força fícticia $-\dfrac{GM_Lm}{r^2} \hat i$ aparece em $m$. Denotemos essa força $\vec{F}_C$, temos assim:

$\vec{F}_C=-\dfrac{GM_Lm}{r^2} \hat i$

Para o ponto P, no entanto, a força gravitacional $(F_P)$ possui 2 componentes, sendo eles:

$F_{PX}=\frac {GmM_L}{s^2 } cos\phi$ (Componente horizontal)

$F_{PY}=-\frac {GmM_L}{s^2} sen\phi$ (Componente vertical)

Assim, a força resultante $\Delta \vec{F}$ é:

$\Delta \vec{F}=\vec{F}_P+\vec{F}_C= GmM_L(\frac {cos\phi}{s^2}-\frac{1}{r^2})\hat i-\frac{GmM_L}{s^2}sen\phi \hat j$

Pela geometria, encontramos $s^2$:

$s^2=(r-Rcos\theta)^2 + (Rsin\theta)^2$

$s^2=r^2-2rRcos\theta+R^2sin^2\theta+R^2cos\theta=r^2-2rRcos\theta+R^2$

Assumindo $R \ll r$, temos:

$s^2=r^2(1-\frac {2R}{r}cos\theta)$

Tomando que $(1+x)^{-1}=1-x$ para $x\ll 1$:

$s^{-2}=\frac{1}{r^2}(1+\frac {2R}{2} cos\theta)$

Substituindo na equação para a força diferencial:

$\Delta \vec{F}=\frac {GmM_LR}{r^2}[cos\phi(1+\frac{2R}{r}cos\theta)-1] \hat i - \frac {GmM_L}{r^2}(1+\frac {2R}{r}cos\theta)sen\phi \hat j$

Temos para $\phi$ muito pequeno:

$cos\phi=1$

$R sen\theta=s sen\phi \implies sen \phi = \frac {Rsen\theta}{r}$

Logo, a força diferencial é:

$\Delta \vec{F}=\frac{GmM_LR}{r^3}(2cos\theta \hat i-sen\theta \hat j)$

Em módulo:

$\Delta F=\frac{GmM_LR}{r^3}\sqrt{(3cos^2\theta+1)}$

Limite de Roche

Quando tratamos de corpos muito grandes em órbita, as forças de maré acabam por ser maiores entre o núcleo e a superfície deste corpo. Se essas forças forem maiores que a atração gravitacional gerada pela massa do próprio corpo, ele se despedaça.

O máximo raio orbital de um corpo para que ele seja despedaçado pelas forças de maré é chamado de Limite de Roche. Em termos matemáticos, temos para um corpo em órbita de massa $m$ e raio $R$ a uma distância $d$ do corpo que orbita, que possui massa $M$ e raio $R'$ (Note que estamos utilizando as expressões acima no caso limite em que $\theta=0$):

$\frac{Gm}{R^2}<\frac{2GM}{d^3}$

A equação acima pode ser interpretada de uma maneira simples. No referencial de $m$, uma massa de teste $\mu$ que está sobre a sua superfície sofre uma força gravitacional devido ao próprio $m$, uma força de contato $N$ e a força de maré. No limite de descolamento, $N=0$ e temos o equilíbrio entre a força gravitacional e a força de maré, porém caso esta ultrapasse a força gravitacional, temos a equação acima.

Sejam $\rho$ e $\rho '$ as densidades médias do corpo orbitante e do corpo central:

$\frac{G4\pi R^3}{3R^2}<\frac{2G4\pi R'^3}{3d^3}$

$d^3<2\frac{\rho'}{\rho}R'^3$

Exercícios:

IOAA 2008 Exercício 8

IOAA 2015 Questão Curta 13

SAO 2019 Questão Média 3 (Space City)

Barra do Piraí 2019 Prova P1-Parte 2 Questão 13 (Aplicação da fórmula)

(Morin) Mostre que se o planeta de massa $m$ orbitasse $M$ em uma órbita síncrona, o novo "limite de Roche" seria:

$d^3<3\frac{\rho'}{\rho}R'^3$

Fonte:

B. Carroll and D. Ostlie. An Introduction to Modern Astrophysics. Cambridge University Press, 2nd edition, 2017.

Recomendação de Leitura Adicional: (Por Bruno Makoto):

Introduction to Classical Mechanics. David Morin - Capítulo 10, seção 3 (Tides). Também é recomendado fazer os problemas e exercícios do fim do capítulo