Astronomia - Ideia: Iteração na Astronomia

Por Lucas Shoji

Muitas vezes em astronomia nos deparamos com equações que são difíceis ou impossíveis de serem resolvidos analiticamente, sendo importante o conhecimento dos métodos iterativos para a solução numérica da equação. Existem muitos métodos, dos quais vamos apresentar dois:

1. Iteração de ponto fixo

A iteração de ponto fixo na calculadora consiste em isolar um dos $x$ que aparecem na equação, e aplicar repetidamente a função isolada nesse $x$. Esse processo pode ser representado pelo seguinte gráfico:

onde a diagonal é a reta $y=x$, e o $x$ converge para seu valor real. Podemos equacionar também como $x_{n+1} = f(x_n)$.

Praticamente, a iteração na calculadora se resume aos seguintes passos:

1. Chutar um valor aproximado para a raiz da equação, e colocar esse valor na calculadora.
2. Isolar um dos $x$ que aparecem na equação, e colocar essa expressão substituindo os $x$ por $Ans$ na calculadora.
3. Apertar repetidamente o botão $=$ até convergir em um valor.
4. Se não convergir, tentar isolar um outro $x$ e repetir o passo 3, e conferir se o valor chutado em 1 é plausível.
5. Se ainda não convergir, esse método não funciona para essa equação. Tente outro método numérico ou procure pensar se precisa necessariamente resolver a equação para resolver o exercício

Exemplificando pela equação $xe^x=10$:

1. $x \approx 2$, então apertamos $2$ e depois $=$. Assim, a calculadora armazenou esse valor na variável $Ans$.
2. Digitar $ln\bigg({10\over Ans}\bigg)$ ou ${10\over e^{Ans}}$ na calculadora.
3. Apertando $=$ muitas vezes, percebemos que a primeira equação converge para $x \approx 1.746$. Se tivéssemos escolhido a segunda expressão, perceberíamos que essa diverge e tentaríamos isolar o outro $x$ (Passo 4), dando o mesmo resultado.

Vamos ver agora a aplicação na astronomia:

Uma estrela tem magnitude absoluta $M=-2,00$ e magnitude aparente $m=8,00$, localizada numa região de extinção interestelar média $2,00 mag/kpc$. Encontre a distância até a estrela.

Escrevendo a equação da magnitude absoluta com extinção:

$m-M = 5log \big({{d}\over{10pc}}\big) + ad$

Substituindo os valores e isolando um dos d's:

$d = 10^{3-0.0004d}$  (em parsecs)

Vamos colocar o chute inicial como de $d \approx 1000pc$ na variável $Ans$, o valor sem a extinção.

(Apertar $1000$ e $=$)

Colocando os valores na calculadora:

$10^{3-0.0004Ans}$

Apertando $=$ algumas vezes, descobrimos que o velor converge para algo próximo de $583,98877$.

Considerando os algarismos significativos: $d=584pc$

Apesar de ser bem prático, esse tipo de iteração pode ser demorado e só funciona para alguns tipos específicos de funções (as polinomiais não estão dentro, por exemplo. Vamos ver agora um outro método, mais trabalhoso porém mais rápido:

2. Método de Newton-Raphson

Esse método é relacionado com a aproximação linear nos pontos que chutamos os valores. Pegamos a tangente (derivada) de uma função $f(x)$ para um $x_0$, e calculamos a raiz para essa aproximação linear $f_n(x) = f'(x_0) (x_0-x)$, e substituímos ela no $f(x)$ para repetir o processo. Pelo triângulo abaixo:

$\tan \beta = f'(x_n) = {{f(x_n)}\over{x_n-x_{n+1}}}$

Logo:

$\boxed{x_{n+1} = x_n - {f(x_n)\over{f'(x_n)}}}$

A animação abaixo pode ajudar na sua compreensão:

 

Vamos exemplificar pela equação de Kepler:

Qual a anomalia excêntrica do cometa Halley $t \approx 5,00$ anos após sua passagem no periélio? É dada a excentricidade de sua órbita, $e = 0,967$ e seu período, $P = 75,3$ anos.

A anomalia média do cometa é:

$M = {{2\pi t}\over{P}} = {{2\pi \times 5,00}\over{75,3}} \approx 0,417 rad$

Podemos armazenar esse valor em uma variável da calculadora, por exemplo na $M$.

Derivando a equação de Kepler, que relaciona a anomalia média $M$, a anomalia excêntrica $E$ e a excentricidade $e$:

$f (E) = e \sin E - E + M \Rightarrow f' = e \cos E - 1$

Perceba que estamos procurando o valor de $E$ que satisfaz $f(E)=0$, ou seja, que obedeça a equação de Kepler, e é justamente isso que a animação representa - a cada etapa ficamos mais próximos do ponto em que $f(E)$ é nulo.

Vamos primeiramente chutar a anomalia média $0,417$ para o $x_0$. (Apertar $0.417$ e $=$)

Colocando a fórmula na calculadora:

$Ans + {{0.967 \sin (Ans)-Ans+0,417}\over{1-0.967 \cos (Ans)}}$

Apertando $=$ aproximadamente 5 vezes o valor converge para $E = 1,36 rad$. Seria possível resolver essa equação por meio da iteração de ponto fixo, mas demoraria muito mais para convergir. Portanto, é importante sempre pensar quando um método ou outro é melhor/mais rápido para cada situação.

OBS: Não esqueça de colocar sua calculadora no modo RAD (radianos) para esse exemplo.

 

Exercícios que usam essa ideia como um passo da resolução:

• A magnitude na banda V de uma estrela é $V = 15,1$, o índice de cor  $B-V = 1,6$, e a magnitude absoluta $V_0 = 1.3$. A extinção média nessa banda para a direção da estrela é de $\alpha_v = 1 mag/kpc$. Qual é a cor intrínseca $(B-V)_0$ da estrela?
• T12 IOAA 2017
• Q6 SAO 2016