Astronomia - Ideia: "Laçada" de Marte

Por Giulia Nóbrega

O movimento retrógrado de Marte, mais conhecido como laçada de Marte é um fenômeno facilmente observado no céu. Basicamente em dados momentos Marte, que em geral se desloca ao leste quando observado em relação às estrelas, passa a se mover para oeste por alguns meses e depois volta a se locomover para leste, formando um “laço” no céu.

 

Mas por que isso acontece?

Esse fenômeno na verdade não é exclusivo de Marte, ocorrendo com todos os planetas. Como planetas mas próximos do Sol têm períodos menores, suas velocidades angulares são maiores, e em dados momentos eles acabam “ultrapassando” os planetas com raios orbitais maiores. Como a posição em que vemos tais corpos no céu é resultado da posição relativa destes em relação à Terra, acabamos observando o seguinte:

Calculando o intervalo de tempo entre 2 movimentos retrógrados:

Como o movimento retrógrado depende da posição relativa entre os astros, podemos calcular tal intervalo de tempo utilizando o conceito de período sinódico. Assim, tomemos um ponto em específico da laçada, no caso, o momento em que Sol, Terra e Marte estão alinhados. O período sinódico será:

$\frac{1}{S}=\frac{1}{T_T}-\frac{1}{T_M}$

$S=\frac{T_T \times T_M}{T_T+T_M}$

$S=2,1 anos$

Assim, o intervalo de tempo é de 2,1 anos.

Legenda:

S – Período sinódico do evento

$T_T$ - Período orbital da Terra (1,0 ano)

$T_M$ - Período orbital de Marte (1,9 anos)

Duração do movimento retrógrado:

Para calcular a duração do fenômeno vamos utilizar a estrutura do exercício 10 do terceiro treinamento de Vinhedo de 2019:

“O movimento retrógrado aparente é o movimento de um corpo planetário em um sentido oposto ao de outros corpos de seu sistema conforme observado de um ponto de referência particular. E conhecido que Marte executa um movimento  retrógrado no céu terrestre nas imediações de sua oposição, como demonstrado nas figuras abaixo. Como se pode notar, o movimento retrógrado se inicia quando a Terra e Marte estão na posição E1 e M1 e é finalizado quando estão na posição E2 e M2. Use que R1 = 1, 00 UA e R2 = 1, 52 UA. Considere também que o período de translação terrestre é de 365 dias.

Calcule o tempo ∆t, em dias, do movimento retrógrado de Marte. Isto é, o tempo que se leva do Ponto de início até o Ponto de volta.”

Resolução:

Temos que no momento em que a laçada começa ou termina a velocidade relativa entre a Terra e Marte é 0, pois é neste momento que ocorre a inversão do sentido do movimento. Assim, temos a seguinte igualdade:

$v_T cos b = v_M cos a$

$\omega_T R1 cos b=\omega_M R2 cos a$

$\frac {2\pi R1}{T_T} cos b=\frac{2\pi R2}{T_M} cos a$

$cos b = \frac {T_TR2}{R1T_M} cos a$

$1-sen^2 b = \frac {R1^3R2^2}{R1^2R2^3} (1-sen^2 a)$

A partir de uma lei dos senos no triângulo formado por Sol, Terra e Marte, podemos realizar a seguinte transformação:

$1-sen^2 b = \frac {R1}{R2} (1-sen^2 b \frac{R1^2}{R2^2})$

Resolvendo tal equação, econtramos $a=27,06^o$ e $b=43,76^o$.

Recorrendo à geometria novamente, temos:

$\theta_1-\theta_2+a+180^o-b = 180^o$

$\theta_1-\theta_2 = b-a = 16,70^o$

Assim, o tempo t levado para percorrer o ângulo $\theta_1$ será:

$\frac{360^o}{S}t=16,70^o$

$t \approx 36 dias$

Por fim, a duração da laçada D será:

$D = 2t$

$D \approx 73 dias$

Legenda:

$v_T$ - Velocidade da Terra

$v_M$ - Velocidade de Marte

$\omega_T$ - Velocidade angular da Terra

$\omega_M$ - Velocidade angular de Marte

Exercícios:

CAO 2017/2018 Categoria CD, fase nacional, problema 5 (Retrograde Motion)

Fonte:

B. Carroll and D. Ostlie. An Introduction to Modern Astrophysics. Cambridge University Press, 2nd edition, 2017.