Astronomia - Semana 85

Escrito por Paulo Henrique 

OBS.: Todos os problemas desta semana estão relacionados, então não pule diretamente para os mais avançados antes de ler os anteriores.

Iniciante

Em Busca do Círculo

Geométrico, cansado da álgebra, decide resolver problemas de mecânica celeste apenas por geometria. Para ajudá-lo a resolver questões dificílimas a partir de um simples desenho, você precisará das seguintes informações. Durante o movimento de um corpo em torno de uma massa central, a direção de seu vetor velocidade muda constantemente. Isso pode ser representado por uma "trajetória no espaço de velocidades" que pode ser obtida da seguinte forma: para cada ponto na trajetória espacial, o vetor velocidade correspondente é desenhado de forma que seu ponto de início fique na origem do espaço de velocidades, e sua magnitude e direção são as mesmas do vetor velocidade naquele ponto. A ponta desse vetor gera uma curva conhecida como hodógrafo. Como primeira tarefa, derive a fórmula da aceleração centrípeta para uma órbita circular de raio $R$ e velocidade $v$ partindo de argumentos geométricos e da definição do hodógrafo.

 

Intermediário

Encontrando o Círculo

a) Para uma órbita circular, é fácil ver que o hodógrafo possui a forma de uma circunferência. E para os outros tipos de órbita? Prove, partindo da definição da aceleração vetorial, que todas as órbitas keplerianas possuem um hodógrafo circular. Determine o raio dessa circunferência em função do parâmetro orbital $\mu=GM$ e do momento angular por unidade de massa $h=L/m$.

b) Para uma órbita elíptica, encontre o raio do hodógrafo e a distância entre seu centro e a origem do espaço de velocidades. Deixe sua resposta em termos das velocidades no periastro e no apoastro, $v_p$ e $v_a$, respectivamente. Faça um esboço do hodógrafo nesse caso.

c) Faça o mesmo para uma órbita parabólica, deixando sua resposta em função da velocidade $v_p$ no periélio.

 

Avançado

Desvendando o Círculo

a) Com a massa central na origem, defina a direção do periastro como sendo o eixo $x$ e o eixo $y$ como sendo perpendicular a ele. No plano $v_x-v_y$, encontre a equação do hodógrafo para uma órbita kepleriana arbitrária. Deixe sua resposta em termos do parâmetro gravitacional $\mu$, do momento angular específico $h$ e da excentricidade $e$.

b) Chame de $O$ a origem do plano $v_x-v_y$ e de $C$ o centro do hodógrafo. Faça um esboço qualitativo do hodógrafo para cada um dos tipos de órbita possíveis. Qual é a diferença entre eles?