Astronomia - Semana 87

Escrito por Paulo Henrique 

Iniciante

Órbita Parabólica

Muitas vezes, estamos interessados em encontrar o tempo necessário para ir de um ponto a outro em uma órbita. Partindo da conservação de momento angular, encontre uma expressão para o tempo necessário para ir do periastro até um ponto com anomalia verdadeira $\theta$ para uma órbita parabólica, assumindo que a massa central $M$ seja muito maior que a massa orbitante $m$. Deixe sua resposta em termos do momento angular específico $h$ e do parâmetro orbital $\mu=GM$.

 

Intermediário

Órbita Elíptica

Para calcular o tempo de voo de um objeto em uma órbita elíptica, é interessante utilizarmos o conceito de anomalia excêntrica. Acompanhe o diagrama na figura a seguir.

A órbita em azul representa a trajetória elíptica completa do objeto em torno de $M$, centrada em $C$ e de focos primário e secundário $O$ e $O'$, respectivamente. Trace agora, em vermelho, a circunferência de diâmetro igual ao eixo-maior da elipse, e que a tangencia em dois pontos (apoastro e periastro). Trace a vertical passando por um ponto qualquer $P$ da órbita, e tome o seu ponto de intersecção com a circunferência mais próxima de $P$ ($P'$ na figura). A definição da anomalia excêntrica $E$ pode ser, então, extraída da figura. Considere que E é contado no sentido horário a partir do periastro (onde $E=0$).

(a) Escreva a distância $r$, em termos de $a$, $e$ e $E$.

(b) É possível mostrar que

$$(1-e\cos{E})^2\left(\dfrac{dE}{dt}\right)^2=k\dfrac{GM}{a^3}$$

em que k é um número real. Determine $k$.

Dica: Escreva a energia mecânica total do objeto. O resultado do item passado pode
ser bastante útil.

(c) Obtenha uma equação para o tempo $t$ necessário para ir do periastro a um ponto de anomalia excêntrica $E$ em função da velocidade de $e$, $E$ e da velocidade angular de uma órbita circular de raio $a$.

 

Avançado

Órbita Hiperbólica

(a) Partindo da definição da anomalia excêntrica $E$ e de sua relação com a equação de uma elipse no plano $x-y$, sugira um possível parâmetro $F$ que seria o seu análogo para uma órbita hiperbólica. Esse parâmetro não precisa ter nenhum significado físico, mas ainda assim nos ajudará a resolver o problema.

(b) Prove que a distância $r$ é dada por

$$r=a(e\cosh{F}-1)$$

(c) Analogamente ao problema anterior, encontre uma equação que relacione o tempo $t$ desde a passagem pelo periastro e o parâmetro $F$.