Lei da Gravitação de Newton

Antes de entrarmos, de fato, na Lei da Gravitação de Newton (1643 - 1727), devemos ter conhecimento das leis enunciadas por Johannes Kepler (1571 - 1630), baseadas nas observações de Tycho Brahe (1546 -1601), de quem Kepler era assistente. Estes enunciados são conhecidos como as Três Leis de Kepler. Numa aula futura, provaremos estas leis a partir do nosso conhecimento de gravitação newtoniana. No entanto, por agora, assim como fez Kepler, iremos apenas observar que estas leis são verdadeiras e que regem o movimento planetário.

Lei das Órbitas: as órbitas dos planetas são elipses.

Lei das Áreas: o vetor $\vec{r}$, que liga o Sol a um planeta qualquer, varre áreas iguais em tempos iguais.

Lei Harmônica: a razão entre o o cubo do semi-eixo maior de uma órbita e o quadrado do período da órbita é uma constante para todos os planetas.

Conhecidos os enunciados dessas leis, podemos partir para a gravitação de Newton.

A Lei da Gravitação de Newton explica, até certo ponto, a força de atração entre corpos dotados de massa.

A Força Gravitacional de Newton é descrita por:

$\vec{F}=-G\frac{Mm}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$,

onde $G$ é a constante da Gravitação e $\hat{r}$ é o vetor unitário de $\vec{r}$. Note que o sentido de $\vec{F}$ é sempre oposto ao de $\hat{r}$.

Vamos provar essa relação para um sistema muito simplificado, onde a massa maior $M$ é estática e a órbita da massa $m$ é circular. Futuramente veremos que a força gravitacional newtoniana explica órbitas elípticas também!

A aceleração centrípeta se dá por:

$\vec{a} = -{\mid \vec{\omega} \mid}^2 \mid \vec{r} \mid \hat{r}$

$\vec{a} = -4\pi^2\frac {\mid \vec{r} \mid}{P^2} \hat{r}$

Usando a Lei Harmônica, a Segunda Lei de Newton e sabendo que o semi eixo maior de uma circunferência é o seu raio, temos:

$\vec{F} = -4\pi^2 C \frac {m}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$,

onde $C$ é a constante da Lei Harmônica, dada por $\frac{{\mid \vec{r} \mid}^3}{P^2}$.

Vemos que, escrita dessa forma, verifica-se imediatamente que a força gravitacional é proporcional à massa do corpo orbitante e inversamente proporcional ao quadrado da distância.

No entanto, dada a Terceira Lei de Newton, o corpo orbitante exerce uma força igual e contrária sobre o corpo fixo, logo a força gravitacional também deve ser proporcional à massa do corpo fixo.

Assim:

$\vec{F} = -4\pi^2 C' \frac {Mm}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$,

$\vec{F}=-G\frac{Mm}{{\mid \vec{r} \mid}^2} \hat{r}$,

onde $G=4\pi^2 C'$ é a constante gravitacional.

Bibliografia: NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica: Vol. 1. 4ª Edição - São Paulo: Edgard Blücher, 2002.