Referencial de Centro de Massa e o Problema de Dois Corpos

O Referencial de Centro de Massa é a ferramenta mais poderosa que teremos na nossa jornada pela mecânica celeste. É ela que nos permitirá transformar o problema de dois corpos em um problema de um corpo só, simplificando drasticamente nossas contas! Veremos que, apesar do nome comprido, esta ferramenta não passa de uma média ponderada, só que com vetores!

Sem mais delongas, vamos começar!

Imagine um espaço tridimensional com três eixos ortogonais com duas massas, $m_1$ e $m_2$, dispostas de forma aleatória, com vetores-posição $\vec{r_1}$ e $\vec{r_2}$. Você saberia dizer a partir dessas variáveis, o vetor-posição $\vec{R}$ do centro de massa do sistema? Dica: é aqui que entra a parte da média ponderada.

Fica como desafio para o leitor provar que:

$\vec{R} \equiv \frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}}{m_1+m_2}$

Dica: projete os vetores-posição das massas sobre os eixos!

Se imaginar tudo isso foi difícil para você, aqui está uma imagem que pode ajudar:

Agora, imagine que $\vec{R}=0$, isto é, o centro de massa está na origem!

Assim, podemos dizer que:

$0=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}}{m_1+m_2}$

Assim:

$m_1\vec{r_1}=-m_2\vec{r_2}$

Temos assim, uma equação simples para descrever a relação entre as distâncias das massas à origem e as próprias massas!

Mas lembre-se: nosso objetivo é reduzir o problema de duas massas se movendo, para apenas uma. Como podemos fazer isso? Veja: já temos o centro de massa fixo na origem! Não seria conveniente se pudéssemos por uma massa $\mu$ orbitando o centro de massa a uma distância $\vec{r}$ de tal forma que a atração entre eles seja a mesma que a atração entre $m_1$ e $m_2$?

Vamos definir primeiramente $\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$, visto que essa é a distância original entre as massas $m_1$ e $m_2$.

Temos assim o módulo da força gravitacional entre as massas $m_1$ e $m_2$:

$F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

que deve ser igual ao módulo da força gravitacional entre as massas $M$, o centro de massa, e $\mu$, a massa orbitante.

$F=G\frac{M \mu}{r^2}$

Assim, temos que:

$M \mu=m_1 m_2$

Pela definição de centro de massa, temos:

$(m_1 + m_2) \mu=m_1 m_2$

Assim:

$\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$,

a chamada massa reduzida!

Temos assim, equações que transformam um problema de duas massas móveis para apenas uma móvel e uma fixa! Veremos futuramente que variáveis do sistema de dois corpos, como momento angular e energia, são idênticas no sistema de um corpo, ou, se você preferir, no sistema reduzido!

Alguns outros resultados úteis que serão deixados como desafio para o leitor provar:

$\vec{r_1}=-\frac{\mu}{m_1}\vec{r}$

$\vec{r_2}=\frac{\mu}{m_2}\vec{r}$