Cinemática Relativística

Por Fabrizio Ferro

Na física o conceito fundamental é o evento. A colisão de duas partículas é um evento, a emissão de um fóton é um evento. Como vimos na seção anterior, qualquer par de referenciais inerciais, independente da velocidade relativa entre eles, concordam sobre o intervalo entre qualquer par de eventos. Resumindo, podemos descrever e localizar eventos sem o uso de sistemas de referência. Entretanto, humanos gostam de estabelecer sistemas de referências, pois eles são úteis para nossas necessidades práticas.

O esquema de transformações das coordenadas de um evento em um referencial inercial para outro é geralmente chamado de “Transformações de Lorentz”. Sua utilidade depende da aplicação e do usuário. Alguns raramente usam, pois sempre lidam com intervalos. Outros sempre usam, pois sempre lidam com referenciais. De qualquer forma, a transformação de Lorentz é uma ferramenta poderosa: ela traz a habilidade de transformar coordenadas de referencial para referencial, ajudam a prever a adição de velocidades e descrevem o efeito Doppler.

Transformações de Lorentz

Assim como na seção anterior, vamos considerar dois referenciais $\mathcal{K}$ e $\mathcal{K'}$ movendo com velocidade relativa constante. Os eixos das coordenadas espaciais foram escolhidos de forma com que os eixos $X$ e $X'$ coincidam, e os eixos $Y$ e $Z$ sejam paralelos aos eixos $Y'$ e $Z'$ respectivamente. Para simplificar, vamos considerar que o movimento relativo se dá no eixo $X$ (a escolha do eixo não irá interferir na análise nem no resultado), com velocidade relativa $V$. Como o movimento se dá no eixo $X$, as coordenadas transversais a direção do movimento relativo (i.e. $y$ e $z$) são as mesmas em ambos os referenciais, ou seja:

$y=y'$

$z=z'$

Vamos também considerar dois eventos que ocorrem na origem do sistema de referência $\mathcal{K'}$ (i.e. $l'=x'=0$) separados por um tempo $t'$. No sistema de referência $\mathcal{K}$, a separação espacial entre os eventos é:

$l=x=Vt$     (1)

Da invariância do intervalo, temos:

$s=s'$

${c}^{2}{t}^{2}-{l}^2={c}^{2}{t'}^{2}-{l'}^2$

${c}^{2}{t}^{2}-{V}^{2}{t}^{2}={c}^{2}{t'}^{2}$

$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$      (para $x'=0$)

Introduzindo o fator $\gamma$:

$t=\gamma t'$      (para $x'=0$)     (2)

Substituindo na equação (1), temos:

$x=V\gamma t'$       (para $x'=0$)     (3)

Para obtermos transformações genéricas para qualquer $x'$, teremos que descobrir a forma geral da Transformação de Lorentz. Será deixado como um exercício para o leitor provar que a Transformação de Lorentz é linear, e segue a forma:

$t=Bx'+Dt'$     (4)

$x=Gx'+Ht'$     (5)

Comparando as equações (2) e (3) com (4) e (5) podemos perceber que:

$D=\gamma$

$H=V\gamma$

Logo:

$t=Bx'+\gamma t'$

$x=Gx'+V\gamma t'$

Novamente utilizando a invariância do intervalo, temos:

${c}^{2}{t}^{2}-{x}^2={c}^{2}{t'}^{2}-{x'}^2$

${c}^{2}({Bx'+\gamma t'})^{2}-(Gx'+V\gamma t')^2={c}^{2}{t'}^{2}-{x'}^2$

Expandindo e agrupando:

${\gamma}^{2}(c^2-V^2){t'}^{2}+2\gamma (cB-VG)x't'-(G^2-{c}^{2}B^2){x'}^{2}={c}^{2}{t'}^{2}-{x'}^2$     (6)

Mas é impossível satisfazer a equação acima com valores únicos de $B$ e $G$ a não ser que o termo que contém $x't'$ desapareça, ou seja:

$B=\frac{V}{c}G$     (7)

Além disso, $B$ e $G$ devem fazer com que o coeficiente $x'$ seja igual nos dois lados da equação (6),  consequentemente:

$G^2-{c}^{2}B^2=1$     (8)

Substituindo (7) em (8):

$G=\frac{1}{\sqrt{1-V^2}}$

Com $G$, podemos obter $B$ e, consequentemente, a expressão final da Transformação de Lorentz.

$t=\gamma (t'+\frac{V}{c^2}x')$     (9)

$x=\gamma (x'+Vt')$        

$y=y'$     

$z=z'$     

É interessante notar que no limite $c \rightarrow \infty$ a transformação de Lorentz se reduz a transformação Galileana.

Transformação de Velocidades

Na subseção anterior, descobrimo as fórmulas que relacionam as coordenadas de um eventos em diferentes sistemas de referência. Agora, vamos descobrir a fórmula que relaciona a velocidade de uma partícula em um sistema de referência com a sua velocidade em outro sistema de referência. Vamos considerar, novamente, dois referenciais $\mathcal{K}$ e $\mathcal{K'}$ se movimentando com velocidade relativa $V$, no eixo $X$. De (9), temos:

$dt=\gamma (dt'+\frac{V}{c^2}dx')$     (10)

$dx=\gamma (dx'+V\ dt')$           

Dividindo a segunda pela primeira equação:

$\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx'}{dt'}+V}{1+\frac{dx'}{dt'}\frac{V}{c^2}}$

Sendo que $\frac{dx}{dt}$ é a velocidade da partícula no referencial $\mathcal{K}$, e $\frac{dx'}{dt'}$ é a velocidade da partícula no referencial $\mathcal{K'}$. Podemos adotar $v=\frac{dx}{dt}$ e $v'=\frac{dx'}{dt'}$, obtendo:

$\boxed{v=\frac{v'+V}{1+v'\frac{V}{c^2}}}$     (11)

Vale notar que no limite $c \rightarrow \infty$ a equação acima se reduz a $v=v'+V$, de acordo com o limite clássico. Além disso, para qualquer valor de $V$, se $v'=c$ então $v=c$.