Astronomia - Ideia: Albedo

Escrita Bismarck Moreira

Definição

Albedo é definido como o poder que um corpo tem de refletir a luz incidente na sua superfície, varia de $0$ até $1$ e normalmente é expresso em porcentagem. Ou seja, é ditado pela razão entre a radiação refletida e incidente.

Matematicamente falando, tem-se:

$\alpha =\frac{R_{r}}{R_{i}}$

Exemplos em Astronomia

Energia refletida pela Terra

O fluxo de energia que chega no planeta proveniente do Sol é:

$F=\frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$

Então sua radiação refletida, pela definição de albedo será:

$\alpha =\frac{R_{r}}{R_{i}} \Rightarrow R_{r} =\alpha R_{i} \Rightarrow R_{r} =\alpha SF$

Onde S é a área transversal do planeta, no caso, a Terra. Portanto:

$\Rightarrow R_{r} =\frac{\alpha L_{\odot} \pi R_{\oplus}^{2}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$

Energia absorvida pela Terra

Se um planeta reflete a energia por um fator de $\alpha$ , a energia restante será absorvida, sendo utilizada para esquentar o corpo.

Matematicamente falando:

$A=(1-\alpha)SF=(1-\alpha)\pi R_{\oplus}^{2} \frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^2}$

Sendo $A$ e $R_{r}$ em unidades de $J/s$ .

Preste atenção em como usar a área do objeto a qual está sendo emitido luz. Em termos de energia absorvida e refletida é usada a área projetada da esfera, ou seja, da maior circunferência que há dentro dela. Porém, para questões de temperatura de planetas temos:

Temperatura de um planeta 1

Para o primeiro exemplo, será considerado um planeta de rotação rápida, ou seja, ele rotaciona de maneira que a energia recebida por cada ponto da esfera seja igual, sendo assim, todos os pontos do objeto estão com a mesma temperatura (considerando que sua superfície tem mesma composição).

Sendo assim, considerando que no equilíbrio térmico, ele tenha comportamento de corpo negro, podemos dizer que toda a energia absorvida será usada para ditar sua temperatura, em outras palavras, a luminosidade intrínseca do planeta será numericamente igual a energia de absorção.

$L=A \therefore 4\pi R_{p}^{2} \sigma_{B} T^{4} =(1-\alpha )\pi R_{p}^{2}\frac{L_{\odot}}{4\pi d^{2}} \Rightarrow$

$\Rightarrow T = \sqrt[4]{\frac{(1-\alpha )L_{\odot}}{16\pi \sigma_{B} d^{2}}}$

Temperatura de um planeta 2

Considerando agora que somente um hemisfério esteja olhando para a estrela, sua luminosidade se dará por receber energia nesta face, ou seja, metade de uma esfera.

Com isso, a luminosidade não será mais dependente de um fator de área de $4\pi R_{p}^{2}$ , mas sim de $2\pi R_{p}^{2}$ . Consequentemente, não existirá mais o coeficiente de 16 na temperatura superficial, mas sim a metade deste, ou seja:

$\Rightarrow T = \sqrt[4]{\frac{(1-\alpha )L_{\odot}}{8\pi \sigma_{B} d^{2}}}$

Exemplo

Calcule o fluxo de energia que um hemisfério recebe, devido a presença da lua. Considere que estamos em Lua cheia e que somente a ela está visível no céu de todo o hemisfério.

Solução

NB! A resolução original deste problema estava errada, apesar do resultado final estar correto. Se você leu esta seção antes do dia 9/3, é recomendado que o faça novamente

Primeiramente, é considerado que tanto a Lua como a Terra possuem albedo e que a distância entre a Terra e Lua seja desprezível quando se leva em conta a distância Terra e Sol. Além disso, note que quando a Lua é cheia, ela está em "oposição" com a Terra.

Assim, o fluxo do Sol a uma distância igual a distância Sol-Lua, $d_{\odot \rightarrow \oplus}$ é:

$F_{\odot \rightarrow L} =\frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$

Com isso, a energia refletida pela Lua será:

$A= \alpha_{L} \pi R_{L}^{2} \frac{L_{\odot}}{4\pi d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}} = \frac{\alpha_{L} R_{L}^{2} L_{\odot}}{4d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}$

Digressão sobre ângulo sólido

A próxima passagem é refinada o suficiente para merecer sua própria digressão. Quando queremos calcular a potência (denominada por $A$ nesta aula) incidente em um planeta de raio $R$ a uma distância $d$ da estrela de luminosidade $L$ , fazemos:

$A=\Omega L=\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}L$

Onde $\Omega$ é a fração de energia emitida pela estrela que efetivamente incide no planeta. O termo $\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}$ , que você provavelmente já está cansado de ver, é o próprio valor de $\Omega$ no caso particular do problema proposto (temperatura do planeta). Ainda, pode-se perceber que $\Omega$ é o ângulo sólido ocupado pelo planeta quando visto da estrela, assim como é representado na imagem abaixo:

Visualização do ângulo sólido. No caso, o planeta é a Terra e a estrela é o Sol

Perceba que, especificamente para o caso em que a estrela irradia isotropicamente, ou seja, igualmente em todas as direções, e o raio do planeta é muito menor que a distância dele à estrela, $\Omega=\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}$ , já que o ângulo sólido é essencialmente a razão entre as áreas transverais.

Concluindo, lembre-se que o fator $\dfrac{\pi R^2}{4\pi d^2}$ é somente válido para o caso particular que $d>>R$

[collapse]

Agora, a energia emitida pela Lua que incide na Terra é:

$A_{in}=A\frac{\pi R_{\oplus}^2}{4\pi d_{L\rightarrow \oplus}^{2}}$

Logo, a energia absorvida pela Terra é:

$A_{\oplus}=(1-\alpha_{\oplus}) A_{in}$

$A_{\oplus}=(1-\alpha_{\oplus})\frac{\alpha_{L}L_{\odot}R_{L}^{2}}{16\pi d_{L\rightarrow \oplus}^{2} d_{\odot \rightarrow \oplus}^{2}}\pi R_{\oplus}^{2}$

Questões que utilizam essa ideia:

IOAA 2007 - T16
IOAA 2011 - T14
Barra do Piraí 2018 - Prova Teórica 1 - Q5