Astronomia - Ideia: Conversão de Data em Dia

Por Fabrizio Ferro

O calendário pode ser definido da seguinte maneira: O conjunto de regras e tabelas usadas com a finalidade de agrupar os dias em diversos períodos que possibilitam um fácil cômputo de dias passados ou a passar [R. Boczko, Conceitos de Astronomia]. 

Por mais que fácil, o “cômputo de dias passados ou a passar” não tende a ser um processo tão rápido. Se todos os meses de um calendário tivessem a mesma quantidade de dias, tal processo seria reduzido a um simples problema de aritmética modular. A realidade, entretanto, sempre resiste a simplicidade. No calendário gregoriano por exemplo, um mês pode ter 30, 31 ou 28 dias (29 se o ano for bissexto). O motivo dessa “irregularidade arbitrária” se deve a uma longa história que envolve o Sol, a Terra, a Lua e alguns imperadores romanos com complexo de superioridade.

Na Astronomia, é comum termos que calcular o intervalo de tempo entre duas datas, ou mesmo ter que converter uma data de um calendário em seu correspondente dia do ano, e vice-versa. Assim, nessa ideia apresentaremos uma forma mais sistemática e talvez mais eficiente de computar períodos e datas para calendários “quase-regulares”. (Focaremos no calendário Gregoriano, mas nossa análise pode ser facilmente generalizada.)

Computação do Número do Dia de uma Data

Dado uma data arbitrária da forma $d/m$, qual seria o seu número $D$ correspondente? O dia 31 de dezembro (i.e. $d=31$, $m=12$), por exemplo, é o dia 365 de um ano não bissexto (i.e. $D=365$). Para o dia 1 de janeiro (i.e. $d=1$, $m=1$), $D=1$. Fornecido o dia $d$ e o mês $m$ de uma data, podemos computar seu número, $D$, usando o seguinte:

$D=d+28\times (m-1)+\sum_{i=1}^{m} {{A}_{i}}$   (1)

$A=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 & 3 & 2\end{bmatrix}$

O $28$ no segundo termo do lado direito da equação (1) se deve ao fato de todos os meses terem pelo menos 28 dias, e a matriz $A$ se deve ao fato de alguns meses não terem exatamente 28 dias.

Exemplo:

Calcule o número do dia para 17/05/2021.

Nesse caso, é fácil de perceber que $d=17$ e $m=5$. Usando a equação (1), temos que:

$D=17+28\times (5-1)+\sum_{i=1}^{5} {{A}_{i}}$

$D=17+28\times (5-1)+({A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3}+{A}_{4}+{A}_{5})$

$D=17+28\times (5-1)+(0+3+0+3+2)$

$D=137$

A matriz $A$ pode ser facilmente memorizada dividindo seus elementos em grupos de 4, ou seja: 0303 2323 3232.

Computação da Data dado o Número do Dia

Agora, vamos supor que fosse fornecido apenas o número do dia. Não podemos resolver diretamente a equação (1) para $m$ e $d$, pois temos apenas uma equação para duas variáveis. Entretanto, é possível perceber que $\sum_{i=1}^{5} {{A}_{i}}<28$, assim, existe uma forma de obter dois pares de $d$ e $m$, sendo que apenas 1 “faz sentido”. Podemos então obter $d$ e $m$, a partir de $D$, pelas seguintes relações (2):

Se    $D-28\times (\left\lfloor D/28 \right\rfloor -1)-\sum _{ i=1 }^{ \left\lfloor D/28 \right\rfloor }{ { A }_{ i } } <28+{ A }_{ (m+1) }$ :

         $m=\left\lfloor D/28 \right\rfloor$

         $d=D-28\times (\left\lfloor D/28 \right\rfloor -1)-\sum _{ i=1 }^{ \left\lfloor D/28 \right\rfloor }{ { A }_{ i } }$

Se    $D-28\times (\left\lceil D/28 \right\rceil -1)-\sum _{ i=1 }^{ \left\lceil D/28 \right\rceil }{ { A }_{ i } } >0$ :

         $m=\left\lceil D/28 \right\rceil$

         $d=D-28\times (\left\lceil D/28 \right\rceil -1)$

Onde foi usado a função floor e a função ceiling. A função a função floor, denotada por $\left\lfloor x \right\rfloor$, converte um número real $x$ no maior número inteiro menor ou igual a $x$, enquanto a função ceiling, denotada por $\left\lceil x \right\rceil$, converte um número real $x$ no menor número inteiro maior ou igual a $x$. Por exemplo, $\left\lfloor 43.2 \right\rfloor=43$ e $\left\lceil 43.2 \right\rceil=44$. Mas note que $\left\lfloor 43 \right\rfloor=\left\lceil 43 \right\rceil=43$.

Talvez um exemplo esclareça o uso das relações (2).

Exemplo:

Calcule a data do dia 73 de um ano não bissexto.

Podemos perceber das relações (2) que sempre teremos dois valores de $m$ a serem considerados, mas apenas um deles possui um $d$ correspondente que “faz sentido” ($d$ não pode ser negativo, nulo, ou maior que o número de dias do mês). Assim, para $D=73$, temos:

$m=\left\lfloor 73/28 \right\rfloor = \left\lfloor 2.607 \right\rfloor =2$

ou

$m=\left\lceil 73/28 \right\rceil=\left\lceil 2.607 \right\rceil=3$

Vamos testar $m=2$ primeiro. Nesse caso, podemos usar (1) para achar $d$:

$d=73-28\times (2-1)-\sum_{i=1}^{2} {{A}_{i}}$

$d=73-28\times (2-1)-({A}_{1}+{A}_{2})$

$d=73-28\times (2-1)-(0+3)=42$

$42$ pode ser a resposta de diversas perguntas, mas com certeza fevereiro (i.e. $m=2$) não possui 42 dias. Só nos resta a opção $m=3$, usando (1) novamente:

$d=73-28\times (3-1)-\sum_{i=1}^{3} {{A}_{i}}$

$d=73-28\times (3-1)-({A}_{1}+{A}_{2}+{A}_{3})$

$d=73-28\times (3-1)-(0+3+0)=14$

Ou seja, para $D=73$, $m=3$ e $d=14$.

14 de março (também conhecido como dia do $\pi$), é o dia $73$ de um ano não bissexto.

Caso de anos bissextos

Caso o ano seja bissexto, é preciso usar uma matriz $B$ diferente de $A$, dada por:

$B=\begin{bmatrix} 0 & 3 & 1 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 & 3 & 2\end{bmatrix}$

Note que a matriz $B$ é obtida alterando apenas o elemento ${A}_{3}$ da matriz $A$.

Exemplo:

No dia 14/08/2020, Vênus atingiu sua elongação máxima ocidental. Calcule a próxima data em que Vênus estará nessa mesma configuração.

Podemos calcular que o período sinódico de Vênus é $S=583.92$ dias.

O número do dia de 14/08/2020 é:

$D=14+28\times (8-1)+(0+3+1+3+2+3+2+3)=227$

Pois 2020 é bissexto. O número do dia da próxima elongação máxima ocidental será:

$D+S=820.92$

Que é em 2022. Podemos obter o número desse dia, em 2022, subtraindo a duração do ano de 2020 e 2021 do valor encontrado, ou seja:

$D'=D+S-366-365.25=89.67\approx 90$

Usando as relações (2), encontramos que $m=3$ e $d=31$ (31 de março). A data exata da próxima elongação ocidental máxima de Vênus é 20 de março, mas a discrepância provavelmente se deve as suposições implícitas sobre os elementos orbitais da Terra e de Vênus.