Por Lucas Shoji
Abordaremos nessa ideia algumas ferramentas básicas para resolução de problemas envolvendo eclipses lunares.
Coordenadas da Lua
Quando um eclipse lunar acontece, a Lua está oposta ao Sol. Assim
αS=180o+αL e δS=−δL
Podemos calcular as coordenadas do Sol em uma certa data no ano, pelo seguinte triângulo:
Pela lei dos senos:
sinδssinε=sinλssin90o⇒δs=sin−1(sinλssinε)
Pela lei das cotangentes:
cosεcosαs=sinαscotλs−sinεcot90o⇒αs=tan−1(cosεtanλs)
Podemos substituir λs, a longitude eclíptica do Sol, por:
λs=ωst=360o365,25N
onde N é o número de dias após o equinócio vernal, evento em que λs=0. Por exemplo, N(1/4)=11 pois a data é aproximadamente 11 dias após o equinócio.
Para obtermos as coordenadas da Lua, basta substituir nas transformações dadas acima.
Duração do eclipse total
Nessa seção vamos estimar o tempo de duração de um eclipse total lunar. Vejamos o seguinte esquema:
O último segmento representa o raio da sombra causada pela Terra, ρ, no plano da Lua, a distância d. A Terra está a uma distância L do Sol. Por trigonometria:
α≈Rs−RtL≈Rt−ρd⇒ρ=Rt−dL(Rs−Rt)
Podemos também por essa figura ver o limite de distância para que aconteça um eclipse anular lunar, igualando ρ a RL. Como essa distância limite é maior que aL(1+eL), portanto essa situação infelizmente nunca acontece com a nossa Lua.
Com ρ, conseguimos calcular o deslocamento escalar da Lua dentro do cone de sombra da Lua:
ΔS=2√(ρ−RL)2−x2min=VLΔt
Onde VL=√GM(2/d−1/aL) é a velocidade da Lua, Δt é a duração do eclipse e xmin é a mínima distância que a Lua atinge do centro da sombra. Note que não precisamos considerar a velocidade da Terra, pois VL já está no referencial da Terra. Substituindo valores, conseguimos obter Δt em função dos parâmetrros relevantes.
Quando preciso, xmin pode ser calculado pela latitude eclíptica da Lua, βL:
xmin≈βLd
βL, por sua vez, pode ser obtido por um método semelhante ao de descobrir as coordenadas do Sol, como mostrado acima. Para isso, basta substituir δs por βL, ε por i, a inclinação orbital da Lua, e ωS por ωL, velocidade angular da Lua usando o período sinódico (pois estamos vendo em relação ao Sol). Isso também pode ser usado para estimar quando acontece um eclipse total e quando um parcial. A situação limite é dada igualando xmin a ρ−RL.
Exercícios para treinar essa ideia:
NAO 2019 P2
ROSAOC 2008 P3
Problemas NOIC da semana 52 - Avançado