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Astronomia - Ideia: Elipse Degenerada

Por Giovanna Girotto

Εm matemática, um caso degenerado é uma situação limite em que uma classe de objeto se aproxima de outra classe, geralmente mais simples. Por exemplo, um ponto pode ser considerado um círculo degenerado em que o raio tende a zero.

Da mesma maneira, podemos considerar uma reta uma elipse degenerada cujo semieixo menor tende a zero.

Esse conceito é muito útil para a resolução de inúmeros exercícios que inicialmente envolveriam um grande conhecimento de cálculo.

Vamos dar um exemplo:

(Romanian Astronomy and Astrophysis Olympiad, 2014)

Mesmo os antigos gregos sabiam que o tamanho da Terra era pequeno se comparado à distância até as estrelas. Por exemplo, conta-se num mito que o deus Hefestos, por descuido, deixou sua bigorna cair na Terra. A bigorna levou 9 dias inteiros para atingir a Terra. Estime a "altura do céu" dos gregos.

A trajetória original da bigorna seria uma reta que está sujeita a uma gravidade que varia com o tempo, porém, iremos aproximar para uma elipse em que b0 e e=a2b2a1

Nesse caso, a órbita tem semieixo maior a=h+RT2 onde RT é o raio terrestre e h é a altura do céu.
Fazendo o uso da terceira lei de Kepler e percebendo que o tempo que a bigorna demora para cair Δt é a metade do período, temos:

4π2GMT=T2a3=(2Δt)2(h+RT2)3
onde MT é a massa da Terra.
Isolando o h: h=23Δt2GMTπ2RT5.2×108m

NB! Perceba que essa solução é muito mais simples que a solução que envolve cálculo, e, como a IOAA e OLAA não exigem cálculo, essa seria uma solução válida e até mesmo esperada em um exercício desse tipo. Também vale ressaltar que essa é uma solução aproximada que considera h>>RT, validando a afirmação de que o tempo de queda é metade do período. Para o caso não aproximado, veja a solução do problema 5 desta lista feita pelo líder do time Estoniano da IPhO e coordenador geral da EuPhO, Jaan Kalda.

Exercícios recomendados 

  • Ipho 2012 - Protostar Formation item 3
  • Um corpo é abandonado a uma distância igual ao raio terrestre da superfície da Terra. Calcule o tempo de queda.
  • Suponha que a Terra seja atingida por um asteróide que se movia em sentido oposto à velocidade de translação da Terra. Os dois corpos permanecem juntos após a colisão e parados no sistema heliocêntrico de referência. Calcule o tempo que o sistema Terra-Asteróide leva para colidir com o sol.