Astronomia - Ideia: Limite de Eddington

Por Tiago Mariotto Lucio

O Limite de Eddington representa a maior luminosidade que uma estrela, em equilíbrio hidrostático, pode ter. Isso ocorre quando a pressão de radiação é igual a gravitacional local. Logo, se a luminosidade de uma estrela for maior que a Luminosidade de Eddington a pressão de radiação domina e, consequentemente, a estrela tende a perder massa pelos ventos estelares.

Demonstração da Fórmula

Inicialmente, para uma estrela em equilíbrio hidrostático, temos:

$\dfrac{dP}{dr} = - \rho \cdot g = - G \cdot \dfrac{M\cdot \rho}{r^2}$        (1)

Pode-se demonstrar que no equilíbrio hidrostático o gradiente de pressão próximo a superfície de uma estrela vale:

$\dfrac{dP}{dr} = - \dfrac{\kappa\cdot \rho}{c}\cdot f$        (2)

Onde $\kappa$ é a opacidade do meio (definida como a secção transversal que absorve fótons por unidade de massa de matéria interestelar: $\left[\kappa\right] = m^2\cdot kg^{-1}$) e $f$ é o fluxo da estrela:

$\dfrac{dP}{dr} = - \dfrac{\kappa\cdot \rho}{c}\cdot \dfrac{L}{4\cdot \pi \cdot r^2}$

Igualando as equações (1) e (2) obtemos a formula para a luminosidade máxima $L_{Ed}$:

$G \cdot \dfrac{M\cdot \rho}{r^2} = \dfrac{\kappa\cdot \rho}{c}\cdot \dfrac{L_{Ed}}{4\cdot \pi \cdot r^2}$

$\boxed{L_{Ed} = \dfrac{4\cdot \pi \cdot G\cdot c}{\kappa}\cdot M}$        (3)

Estimativas

Como as estrelas no topo da sequência principal possuem temperaturas muito altas, a maior parte do hidrogênio esta ionizado na fotosfera, portanto a maior contribuição para a opacidade é  do espalhamento de elétrons:

$\kappa \approx \kappa_{es} = 0,20 \cdot (1 + X)\, cm^2/g$

Onde $X$ é a fração de massa do hidrogênio que pode ser estimada para $X \approx 0,7$:

$L_{Ed} \approx 7,4\cdot M \approx 1,5 \cdot 10^{31} \cdot \dfrac{M}{M_{\odot}} \, W$

$\boxed{L_{Ed} \approx 3,8 \cdot 10^4 \cdot \dfrac{M}{M_{\odot}} \cdot L_{\odot}}$        (4)

Massa Limite

Para uma estrela na sequência principal, podemos considerar:

$L \propto M^3 \Longrightarrow \dfrac{L}{L_{\odot}} = \left(\dfrac{M}{M_{\odot}}\right)^3$        (5)

Substituindo (5) em (4) e considerando o caso limite $L=L_{Ed}$:

$\dfrac{M}{M_{\odot}} \approx \sqrt{3,8 \cdot 10^4} \Longrightarrow M \approx 190 \cdot M_{\odot}$

Curiosidades

• A estrela RMC 136a1 é a estrela mais massiva conhecida, com $M \approx 315 \cdot M_{\odot}$. Devido a sua massa extremamente grande, a pressão de radiação é muito alta, causando ventos estelares com velocidades de aproximadamente $2600 \, km/s \approx 0,01\cdot c$. Além disso, essa estrela tem uma perda de massa de aproximadamente $5,1 \cdot 10^{-5}\, M_{\odot}/\hbox{ano}$.
• Mesmo se a luminosidade da estrela for alguns décimos da Luminosidade de Eddington, a radiação será tão intensa que ela terá uma perda de massa significativa.
• Erupções de raios gama, novas e supernovas excedem o Limite de Eddington por um grande fator. Resultando em uma rápida e muito intensa perda de massa.

Exercícios para treinar essa ideia:

1. NAO 2017 - Problema 5

2. An Introduction to Modern Astrophysics - Capítulo 11: Exercício 23