Soluções Astronomia - Semana 31

Iniciante

Primeiramente, calculemos o raio orbital do satélite

Pela terceira lei de Kepler, temos:

$P^2=\frac{4\pi^2}{GM}{r^3}$.

$P=86400s, M=5,97 \cdot 10^{24} kg, G = 6,67 \cdot 10^-11 N \cdot kg^-2 \cdot m^2.$

Assim,

$r= 42,23 \cdot 10^6 m$.

Esquematizando a situação de distância zenital mínima:

Temos, por lei dos cossenos, que:

$d=\sqrt{R_T^2+r^2-2R_Trcos(\phi-i)}$,

onde $R_T = 6,37 \cdot 10^6 m$. Assim, por lei dos senos:

$\frac{r}{sen(180-z)}=\frac{d}{sen(\phi-i)}$.

Substituindo valores, temos que $z$ será:

$z = 16^{\circ} 48^{'}$.

Doze horas depois, temos a seguinte situação:

Da figura, temos que $d'$ será:

$d'=\sqrt{R_T^2+r^2-2R_Trcos(\phi+i)}$.

Assim, novamente pela lei dos senos, temos:

$\frac{r}{sen(180-z)}=\frac{d'}{sen(\phi+i)}$.

Dessa forma,

$z = 30^{\circ} 2^{'}$.

 

Intermediário

a) O fluxo observado será o fluxo incidente na janela ($F_0$) multiplicado por um fator de perda que depende de $n$ e de $r$. O fluxo observado será:

$F=F_0{(1-r)^{2n}}$. (1)

Assim, da equação de Pogson, temos:

$\Delta m = -2,5log(\frac{F}{F_0})$. (2)

Substituindo (1) em (2), vem:

$\Delta m = -2,5log(1-r)^{2n}$.

Assim, chegamos a:

$\Delta m = -5n{log(1-r)}$.

b) O fluxo observado pode ser expressado por:

$F=F_0 e^{-\tau}$.

Onde $\tau$ é a profundidade óptica. Isolando $\tau$ na equação acima, temos:

$\tau = -ln(\frac{F}{F_0})$.

Assim, vem:

$\tau = -ln(1-r)^{2n}$.

Temos, portanto:

$\tau = -2n{ln(1-r)}$.

 

Avançado

Para resolver este problema, pode-se usar a segunda lei de Kepler, que nada mais é do que a conservação do momento angular.

$\frac{L}{2m}=\frac{dA}{dt}$,

mas $L = m(\vec{v} \times \vec{r})$ e $\frac{dA}{dt}=\frac{\Delta A}{\Delta t}$, visto que $\frac{dA}{dt}$ é constante.

Assim:

$\frac{\vec{v} \times \vec{r}}{2}=\frac{\Delta A}{\Delta t}$.

Escolhendo $\vec{v}$ e $\vec{r}$ no periélio, isto é, quando o ângulo entre esses vetores for $90^{\circ}$, e isolando $\Delta t$, temos:

$\Delta t = \frac{2\Delta A}{vr}$. (1)

Visto que se trata de uma órbita parabólica e que o asteróide está no periélio, temos que:

$v = v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$. (2)

Além disso, modelando um função para a trajetória, temos:

$f(x)=-\frac{x^2}{4}+1$,

que é uma parábola com foco na origem do plano cartesiano e com r=1. Assim, temos que, para que o asteróide percorra $90^{\circ}$, para obter a área percorrida, é necessário integrar a função de 0 a 2. Integrando:

$\int_0^2 (-\frac{x^2}{4}+1) dx = \frac{4}{3}$.

Como definimos $r=1$,

$\Delta A = \frac{4}{3}{r^2}$. (3)

Substituindo (2) e (3) na equação (1), vem:

$\Delta t = \frac{8}{3\sqrt{2GM}}{r^{3/2}}$.