Desigualdade de Cauchy-Schwarz - Intuitivamente

Desigualdade de Cauchy-Schwarz - Intuitivamente

Para introduzir essa desigualdade, explicarei primeiro a forma moralmente correta de enunciar Cauchy-Schwarz e depois mostrarei a versão útil para problemas olímpicos.

Produto Interno no $\mathbb{R} ^n$

Lembrando que o $\mathbb{R} ^n$ é apenas uma notação utilizada para representar vetores de números reais no espaço $n$-dimensional. Formalmente:

$\mathbb{R} ^n = {(x_1,x_2,...,x_n) : x_i \in \mathbb{R} \forall i = 1,2,...,n}$

No que segue, $v=(a_1,...,a_n) ,u=(b_1,...,b_n)$ serão vetores no espaço real $n$-dimensional.

Definição 1 (Produto Interno). Definiremos o produto interno de v e u como sendo 

$\langle\ v,u \rangle = a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

Note que o produto interno é bilinear. Isto é, para $r$ real e $w$ vetor,

$\langle\ v,u +rw \rangle = \langle\ v,u \rangle +r\langle\ v,w \rangle$

E o análogo à esquerda.

Além disso, ele é simétrico: $\langle\ v,u \rangle = \langle\ u,v \rangle$

Definição 2 (Norma). Definiremos a norma de um vetor $u$ como o real não negativo $||u||$ tal que

$||u||^2=\langle\ v,v \rangle$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

 

Teorema de Cauchy-Schwarz (Forma intuitivamente correta). Para vetores $u,v$, vale

$\langle\ v,u \rangle \le ||u|| ||v||$

Prova. Por simplicidade de notação, seja $\langle\ v,u \rangle = N(v,u)$ e $N(v,v)=N(v)=||v||^2$ durante esta prova. (Perceba que essa não é uma notação padrão!!!)

Seja $x$ uma variável real.

$N(u-xv) \ge 0$

$N(u)-N(u,xv)-N(xv,u)+N(xv) \ge 0$ ($N$ é bilinear)

$x^2 N(v) - 2xN(v,u)+N(u) \ge 0$

Em particular, o famoso delta da expressão $x^2 N(v) - 2xN(v,u)+N(u)$ (olhando como um polinômio em $x$) deve ser não positivo. Logo

$4N(v,u)^2-4N(v)N(u) \le 0$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz Olímpico

 

Com "intuitivamente correta", eu não quis, sobre hipótese alguma, afirmar que esta versão é menos correta que a outra. Apenas tanto a prova quanto a visualização do teorema são muito mais simples do outro modo.

Teorema de Cauchy-Schwarz. Sejam $a_1,...a_n,b_1,...,b_n$ reais. Então vale:

$a_1b_1 +...+a_nb_n \le \sqrt{(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)}$

 

Exercícios:

Exercício 1. Ache o caso de igualdade na igualdade de Cauchy-Schwarz.

Exercício 2. Ache todas as soluções reais $(a,b)$ da equação:

$2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)$