Equação Funcional de Cauchy- Parte 1

 

Nesta aula começaremos nosso estuda na Teoria das Equações Funcionais. Na maior parte dos problemas de olimpíadas sobre equação funcional, a teoria em si não é muito utilizada, e sim sacadas inteligentes e o desenvolvimento de várias pequenas descobertas no processo da solução do problema. Não obstante, há alguns casos em que a teoria pode ser extremamente útil (como no problema 1 da IMO 2019). Dito isso, começaremos com a mais famosa equação funcional para estudantes de olimpíadas: a Equação de Cauchy.

A equação

Consideremos a seguinte equação funcional $f : K \rightarrow K$:

$f(x+y) = f(x) +f(y) \forall x,y \in K$

Onde $K$ é um conjunto fechado por soma. Por agora, consideremos que $K$ é o conjunto dos números reais.

Será que é possível encontrar todas as soluções $f$ para a equação acima? A resposta é sim, mas é muito mais complicado do que parece.

Inicialmente, conseguimos ver que a função linear $f(x)= cx$ satisfaz a equação para qualquer $c$ que escolhermos. 

Por mais contra-intuitivo que pareça, há inúmeras soluções que não admitem esse formato linear. No entanto, podemos nos restringir a conjuntos mais simples para examinarmos a função.

Cauchy em $\mathbb{Q}$

E o que podemos dizer sobre $f$ se estivermos trabalhando em $\mathbb{Q}$? 

Teorema (Cauchy nos Racionais). Considere a equação de Cauchy no conjunto $K=\mathbb{Q}$. Uma função $f$ é solução se, e somente se, $f$ for linear.

Prova. Verificar que $f$ linear ($f(x)=ax \forall x \in \mathbb{Q}, a \in \mathbb{Q}$) é solução é imediato.

Agora provaremos o outro lado. Seja $f$ uma solução e $f(1)=a, a\in \mathbb{Q}$. Note que 

$f(n+1)=f(n)+a$  (i)

$f(-(n+1))=f(-n)+f(-1)$  (ii)

Por outro lado, 

$a=a+f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Donde 

$0=a+f(-1) \Rightarrow f(-1)=-a$

Então por (i) e (ii) tiramos que $f(n)=an$ para todo $n$ inteiro (tente verificar a indução!). 

Agora note que se $p,q$ são inteiros com $q$ diferente de $0$, então:

$qf(\frac{p}{q})= (q-1)f(\frac{p}{q}) +f(\frac{2p}{q})=...=f(p)=ap$

Logo $f(\frac{p}{q})=a\frac{p}{q}$ para todos inteiros $p,q$. Isso estabelece o resultado.

 

Note que o motivo dessa prova não funcionar para os reais vem do fato que foi completamente necessário utilizar inteiros para conseguir somar valores de $f$ duma maneira adequada. 

 

Na parte 2 veremos como tratar da equação de Cauchy nos reais e também estabeleceremos condições em $f$ para ver quando podemos concluir que $f$ é linear.