Invariante é aquilo que não varia. Por exemplo, uma soma ou a divisibilidade por algum número podem ser invariantes. Pode parecer uma ideia simples, mas as analisando podemos ter uma ferramenta importante na resolução de problemas dos mais variados níveis.
Exemplos
Exemplo 1. Em cada um dos 10 degraus de uma escada há uma rã. Cada rã pode saltar para qualquer um dos outros degraus, mas quando faz isso, outra rã pula a mesma quantidade de degraus no sentido oposto (uma sobe e a outro desce). É possível que em algum momento, todas elas cheguem no mesmo degrau?
Solução: Vamos numerar os degraus de 1 até 10 e vamos associar cada rã ao número do degrau que ela ocupa. A soma inicial dos números que as rãs carregam é 
. Se uma rã pula uma quantidade x descendo e outra rã pula essa mesma quantidade x subindo, ou vice-versa, a soma S não se altera. Porém se todas as rãs ocupam o mesmo degrau n, a soma total delas seria 
. Então 
, porém, como n é natural, não é possível.
No exemplo anterior, temos que a invariante era a soma dos números que as rãs representavam. No seguinte, a invariante será a congruência módulo 9.
Exemplo 2. João corta uma folha de papel em 10 partes iguais. Depois ele corta uma dessas partes em 10 partes iguais menores e assim sucessivamente. É possível que em algum momento ele tenha exatamente 3000 partes?
Solução: Inicialmente podemos considerar que a folha de papel inteira é uma parte. Depois, temos 10 partes. No segundo corte, teremos 19 partes. Podemos observar assim um padrão, que a cada corte adicionam-se 9 partes na soma total, considerando que uma parte vira 10. Assim, a congruência é invariante módulo 9, sendo sempre 1. Assim, como 3000 é congruente a 3 módulo 9, não é possível.
Podemos observar que nos dois problemas anteriores, a pergunta era se tal condição era possível ou não, que é um enunciado clássico para o uso de invariantes. Além disso, podemos usá-las para provar conjecturas.
Algo que poupará ao aluno tempo e que pode ajudá-lo a perceber se algo é possível ou não, e a se convencer de que o que a questão pede para ser provado é realmente verdadeiro, são os casos iniciais: analisar como o enunciado se comporta com pequenas quantidades.
Exemplo 3. Seja n um natural ímpar e suponhamos que em um quadro estão escritos os números de 1 até 2n. Em cada turno se deve escolher dois deles, digamos a e b, os apagamos e escrevemos |a – b|. Prove que depois de 2n – 1 passos, o número escrito será ímpar.
Solução: Considerando que queremos provar que o número será ímpar, logo conjecturamos que a invariante será a paridade do resultado final. Vamos considerar os números somente como pares ou ímpares, ignorando seus valores absolutos. Temos n pares e n ímpares. Vamos chamar o processo de apagar a e b e escrever |a – b| de operação. Caso inicial:
n = 1: |p - í| é ímpar, assim como |í - p|. Então o número após 1, 2n -1, passo é ímpar, ok!
Vamos analisar as 4 possíveis operações: |p - í |, |í - p|, |p - p|, |í - í|.
As duas primeiras têm resultado ímpar e as outras, par. Temos que, a soma e a subtração tem a mesma paridade. Então, se trocarmos as subtrações por soma, ao decorrer das operações, teremos uma soma de todos os números do quadro, analisando somente a paridade.
A soma 
é ímpar, já que n é ímpar.
Problemas propostos
Problema 1. Considere os pontos do plano cartesiano com ambas coordenadas naturais. A partir de um ponto (a,b) está permitido se mover para (a -b ,b) se 
ou (a ,b -a) se 
. Por exemplo a seguinte trajetória é válida partindo de (12,7):
(12,7) -> (5,7) -> (5,2) -> (3,2) -> (1,2) -> (1,1)
Partindo de (86415, 69118) é possível chegar em (1,1)?
Observação: O objetivo nessa questão é treinar o uso e a percepção de invariantes e não realizar um trabalho braçal.
Problema 2. Se cada um dos números 
são 1 ou -1 e temos a seguinte operação:
Prove que n é múltiplo de 4.
Problema 3 (Torneio de Cidades/1984). Na ilha de Cameleão existem 13 camelões amarelos, 15 camelões verdes e 17 camelões vermelhos. Se dois camelões de cores diferentes se encontram, eles trocam simultaneamente para a terceira cor (por exemplo, se um camelão amarelo encontra um verde, ambos ficam vermelhos). É possível que em algum momento todos os camelões fiquem da mesma cor?
Problema 4 (Torneio das Cidades/2003). Em cada casinha de um tabuleiro 
há um sinal + ou -. A operação permitida é escolher uma casa e trocar o sinal dela e de todas as suas vizinhas (as que tem um lado em comum). Determine quantos configurações de tabuleiros diferentes pode-se obter.
Problema 5 (OMCS/2000). No plano cartesiano, considere os pontos com coordenadas inteiras e rotações de 90° no sentido anti-horário com centro em um desse pontos. É possível, mediante uma sucessão dessas rotações, transformar o triângulo o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1) em um triângulo de vértices (0,0), (1,0), (1,1).
Problema 6 (IMOSL/2009). Considere 2009 cartas, cada uma com um lado dourado e outro lado negro enfileiradas paralelamente sobre uma mesa. Inicialmente todas as cartas exibem seu lado dourado. Dois jogadores, do mesmo lado da mesa, jogam um jogo com movimentos alternados. Cada movimento consiste em escolher um bloco de 50 cartas consecutivas, a mais à esquerda exibindo seu lado dourado, e virá-las, as que exibem o lado dourado passam a exibir o lado negro e vice-versa. Quem não puder mais realizar um movimento, perde.
a) O jogo necessariamente termina?
b) Existe uma estratégia vencedora para o primeiro jogador?
Problema 7 (MMO/1995). Temos inicialmente 4 triângulos retângulos congruentes. Em um movimento, pode-se tomar qualquer triângulo e parti-lo em dois pela altura de seu ângulo reto. Mostre que sempre se tem ao menos um par de triângulos congruentes.
Problema 8 (IMOSL/2012). Números positivos são escritos em uma linha. Alice escolhe dois números adjacentes x e y tal que x > y e x está a esquerda de y e o par (x,y) é substituído por (y+1, x) ou (x-1, x). Prove que ela só pode fazer um número finito de operações.
Em breve dicas e soluções para tais questões serão anexadas.
Sugestões de outros materiais
• “Invariantes – Como algo que não muda mudará a sua vida” do professor Davi Lopes;
• “Invariantes e monovariantes” do professor Carlos Shine;
• “Problemas Diversos de Invariantes e Semi-invariantes” do professor George Lucas;
Referências
[1] Art of Solving Problems
[2] José Hiber Said – Combinatória para Olimpíadas Matemáticas