Quadriláteros Cíclicos 1

Definição: Um quadrilátero $ABCD$ é ciclico se existe um círculo $\Gamma$ passando por seus 4 Vértices. $\Gamma$ é chamado o Circuncírculo de $ABCD$.

Fato 0: Sejam $A,B,C$ pontos em um circulo de centro $O$. Então $\angle BOC=2\cdot\angle BAC$.

            

Fato 1: Se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico, $\angle BAD+\angle DCB=180^o$.

Prova: Usando o Fato 0:

$$\angle BAD=\frac{\angle BOD}{2}\text{ (o angulo que contem C)}$$

$$\angle DCB=\frac{\angle DOB}{2}\text{ (o angulo que contem A)}$$

$$\angle BAD+\angle BCD=\frac{\angle DOB+\angle BOD}{2}=\frac{360^o}{2}=180^o$$

OBS: Analogamente, $\angle ABC+\angle CDA=180^o$

Fato 2: Se $ABCD$ é um quadrilátero cíclico, $\angle BAD=\angle BCD$.Ou seja, os ângulos que "olham" pro mesmo segmento, tem a mesma medida.

Prova: Usando novamente o Fato 0:

$$\angle BAD=\frac{\angle BOD}{2}=\angle BCD$$

OBS: Analogamente:

$$\angle ACB=\angle ADB\\ \angle BAD=\angle BCD\\ \angle ABD=\angle ACD$$

Fato 3: Se $ABCD$ é um quadrilatero qulquer tal que $\angle ABC+\angle CDA=180^o$ ou $\angle BAD=\angle BCD$, então $ABCD$ é um quadrilatero ciclico.

Prova: Mostramos a prova do caso $\angle ABC+\angle CDA=180^o$, já que o outro caso é análogo e deve ser resolvido pelo leitor como um exercício.

Seja $\Gamma$ o circuncirculo do triângulo $ABC$, e suponha que $D$ não pertence a $\Gamma$. Seja então $D'\neq D$ a segunda interseção de $CD$ com $\Gamma$. Pelo Lemma 1 sabemos que $\angle CD'A=180^o-\angle ABC=\angle CDA$. Mas então $C,D,D'$ estão na mesma reta e $\angle ADC=\angle AD'C$. Logo $D'=D\rightarrow$ contradição, pois assumimos $D\neq D'$. Então nossa suposição estava errada e $D$ está de fato em $\Gamma$, e está provado o Fato.

A primeira vista estes podem parecer fatos banais, mas não é um exagero dizer que conhecimento de quadriláteros ciclicos é parte essencial de 60% de todos problemas de geometria a partir do 9º ano.

Problemas:

1. Dado um triângulo $ABC$ e $\Gamma$ seu circuncirculo. Seja $H$ o encontro das alturas relativas aos vértices $B$ e $C$. Seja $H'$ a reflexão de $H$ por $BC$. Prove que $H'$ pertence a $\Gamma$.
2. Dado um triângulo $ABC$ e $\Gamma$ seu circuncírculo. Dados pontos $X$ sobre $AB$ e $Y$ sobre $AC$ tais que o quadrilátero $BCYX$ é cíclico, prove que $AO\perp XY$ (esse simbolo representa perpendicularidade), onde $O$ é o centro de $\Gamma$.
3. Dado um triângulo $ABC$ e $AD,BE,CF$ suas alturas, e $H$ o encontro das 3 (o ortocentro de $ABC$). Prove que os seguintes quadriláteros são cíclicos:
   1. $BCEF,CAFD$ e $ABDE$.
   2. $AFHE,BDHF$ e $CEHD$.
   3. Encontre os centros dos quadriláteros acima.