Equação Funcional de Cauchy- Parte 2

 

Continuaremos aqui o conteúdo dado na primeira aula. A abordagem principal que faremos é sobre quando uma equação de Cauchy nos reais admite apenas soluções lineares.

Cauchy em $\mathbb{R}$

Vamos começar por um fato bem interessante, mostrando que as soluções não lineares de Cauchy são muito mais difíceis de representar. Este primeiro exemplo depende um pouco de cálculo e álgebra linear. Como ele não é absolutamente necessário para entender completamente o conteúdo, sinta-se confortável para pular caso não conheça muito bem essas áreas.

Teorema 1. Para cada real $x$, atribua o ponto $V(x)=(x,f(x))$ a ele. Se $f$ for não linear, então o conjunto $\{ V(x) : x \in \mathbb{R} \}$ é denso no plano.

Prova. Se $f$ é não linear, então existem $a,b$ reais não nulos com

$\frac{f(a}{a} \neq \frac{f(b)}{b}$

Em outras palavras, $V(a),V(b)$ são linearmente independentes no plano (Verifique!). Consequentemente, para todo ponto $P$ no plano, existem reais $\alpha, \beta$ tais que

$P= V(a) \alpha +V(b) \beta$

Como os racionais são densos nos reais, existem sequências de racionais $\alpha _1, \alpha _2 ,...$ e $\beta _1 , \beta _2 ,...$ convergindo para $\alpha$ e $\beta$ respectivamente. Agora basta verificar que

$\lim (V(a) \alpha _n +V(b) \beta _n) =P$

Para finalizar, temos $f(a \alpha _n)= f(a) \alpha _n$ uma vez que $\alpha _n$ é racional. De fato, basta utilizar daquele truque que vimos na última aula:

$qf(\frac{pa}{q})=f(\frac{2pa}{q})+(q-1)f(\frac{pa}{q})=...=f(pa)$

$f(pa)=f(a)+f((p-1)a)=...=pf(a)$

$\Rightarrow f(\frac{pa}{q})=f(a)\frac{p}{q}$

Logo

$\lim V(a \alpha _n +b \beta _n) = \lim (V(a) \alpha _n +V(b) \beta _n) =P$

Como desejado.

 

Agora vem a parte realmente importante desta aula.

Teorema 2. (Critério de Linearidade). Todas as condições a seguir são equivalentes:

$\text{i}$ $f$ é linear

$\text{ii}$ $f$ é limitada (unilateralmente limitada já é o suficiente) em algum intervalo aberto

$\text{iii}$ $f$ é contínua em um ponto

$\text{iv}$ $f$ é monótona em qualquer intervalo aberto

 

Prova. Para os que tem um olho afiado, já ficou visível que esse Teorema 2 é uma consequência imediata do Teorema 1. Para uma prova mais detalhada, veja que:

$\text{iv} \Rightarrow \text{ii}$

nesse intervalo. De fato, se $f$ é limitada num intervalo aberto $(a,b)$, podemos tomar um subintervalo fechado $[c,d]$ com $a<c<d<b$ e teremos que $f$ será limitada por $f(c),f(d)$ nesse intervalo (independentemente de quem seja maior entre $f(c),f(d)$.).

Para provar $\text{ii} \Rightarrow \text{i}$, suponha que $f$ é limitada superiormente por $W$ no intervalo $(a,b)$. Pelo o que vimos, se $f$ for não linear, então $(x,f(x))$ possuirá pontos suficientemente próximos de $( \frac{a+b}{2} , W+1)$, absurdo (Verifique!).

Para provar $\text{iii} \Rightarrow \text{i}$, suponha que $f$ é convergente num ponto $a$ e que o limite seja $A=f(a)$. Pelo o que vimos, se $f$ for não linear, há pontos em $(x,f(x))$ suficientemente próximos de $(a,A+1)$, absurdo (Verifique!).

Por fim, é claro que $\text{i}$ implica todas as outras propriedades.