Equação dos Quatro Elementos

Uma importante relação de trigonometria esférica, juntamente da lei dos senos e cossenos, é a equação dos 4 elementos consecutivos. Ela pode ser deduzida a partir das leis dos senos e cossenos, porém isso leva muito tempo, sendo mais fácil decorá-la. Os treinamentos de Vinhedo e a IOAA já estão cobrando essa lei com o pressuposto que o aluno a conhece, logo é importante. O NOIC já tem uma página com ela, porém está escrita de um jeito bugadão de decorar pra prova, então aí vai o jeito que o Lucas Shoji me ensinou um dia:

A lei diz que:

$+\cot AE \sin AI + \cos LI \cos AI = \cot LE \sin LI$

Onde:

• AI: ângulo interno
• AE: ângulo externo
• LI: lado interno
• LE: lado externo

Lembrando que a lei relaciona somente quatro elementos CONSECUTIVOS, ou seja, 4 ângulos e lados 'colados'

Salve Jan

Por Giovanna Girotto

Nessa ideia iremos aprender a calcular o tempo de duração do nascer (ou pôr) do Sol, isto é, o intervalo de tempo entre a borda inferior do Sol tocar o horizonte e sua parte superior "desaparecer".

Teremos que separar os cálculos em duas partes: a primeira quando a declinação (δ) do Sol é zero e a segunda quando sua declinação é diferente de zero.

1. δ=0

Onde, no triângulo mostrado, estão marcados:

${\bar{\Phi }}$ = complemento da latitude

${\alpha}$ = ângulo que o Sol percorre para encostar sua borda inferior até encostar o centro no horizonte

${\Theta}$ = diâmetro do Sol

Assim, nesse triângulo podemos aplicar uma simples Lei dos Senos para encontrar o valor de ${\alpha}$ :

${\frac{\sin \Phi }{\sin \theta /2}=\frac{1}{\sin \alpha }}$

Com o valor de ${\alpha}$:

${\Delta t=\frac{2\alpha }{\omega _{t}}}$

Em que ${\omega _{t}}$= velocidade angular de rotação da Terra

 

2. δ ${\neq}$ 0

Para descobrirmos o ângulo ${\alpha}$ de maneira análoga ao primeiro caso, precisamos antes descobrir o ângulo ${\eta}$ :

Lei dos Senos:

${\frac{\sin x}{\sin \Phi }=\frac{\sin \delta }{\sin \eta }}$ (Eq 1)

Regra dos 4 elementos:

${\cos x.\cos 90=\cot \delta .\sin x-\cot \eta \sin 90}$

${\cot \eta =\cot \delta .\sin x}$

${\sin x=\frac{\cot \eta }{\cot \delta }}$ (Eq. 2)

Substituindo (Eq. 2) em (Eq. 1):

${\cos \eta =\sin \Phi .\cos \delta}$

E assim descobrimos o valor de ${\eta}$ !

Agora, de maneira análoga ao primeiro caso, aplicaremos Lei dos Senos:

${\frac{\sin \eta }{\sin \theta /2}=\frac{1}{\sin \alpha }}$

Com o valor de ${\alpha}$:

${\Delta t=\frac{2\alpha }{\omega _{t}}}$

Exercícios 

Águias na cruz de Caraiman (IOAA 2014)