Equação Funcional de Cauchy- Parte 1
Nesta aula começaremos nosso estuda na Teoria das Equações Funcionais. Na maior parte dos problemas de olimpíadas sobre equação funcional, a teoria em si não é muito utilizada, e sim sacadas inteligentes e o desenvolvimento de várias pequenas descobertas no processo da solução do problema. Não obstante, há alguns casos em que a teoria pode ser extremamente útil (como no problema 1 da IMO 2019). Dito isso, começaremos com a mais famosa equação funcional para estudantes de olimpíadas: a Equação de Cauchy.
A equação
Consideremos a seguinte equação funcional :
Onde é um conjunto fechado por soma. Por agora, consideremos que
é o conjunto dos números reais.
Será que é possível encontrar todas as soluções para a equação acima? A resposta é sim, mas é muito mais complicado do que parece.
Inicialmente, conseguimos ver que a função linear satisfaz a equação para qualquer
que escolhermos.
Por mais contra-intuitivo que pareça, há inúmeras soluções que não admitem esse formato linear. No entanto, podemos nos restringir a conjuntos mais simples para examinarmos a função.
Cauchy em ![\mathbb{Q}](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5eac308e29708e918ed13a88a4249b74.gif?w=640&ssl=1)
E o que podemos dizer sobre se estivermos trabalhando em
?
Teorema (Cauchy nos Racionais). Considere a equação de Cauchy no conjunto . Uma função
é solução se, e somente se,
for linear.
Prova. Verificar que linear (
) é solução é imediato.
Agora provaremos o outro lado. Seja uma solução e
. Note que
(i)
(ii)
Por outro lado,
Donde
Então por (i) e (ii) tiramos que para todo
inteiro (tente verificar a indução!).
Agora note que se são inteiros com
diferente de
, então:
Logo para todos inteiros
. Isso estabelece o resultado.
Note que o motivo dessa prova não funcionar para os reais vem do fato que foi completamente necessário utilizar inteiros para conseguir somar valores de duma maneira adequada.
Na parte 2 veremos como tratar da equação de Cauchy nos reais e também estabeleceremos condições em para ver quando podemos concluir que
é linear.