Fundamentos de Análise- Parte 1

 

Começaremos aqui a falar de uma área da matemática que requer muita formalidade, mas pode trazer resultados incríveis se aplicada corretamente. Para iniciar, vamos começar com definições para facilitar nosso trabalho e vamos em seguida partir para a luta.

 

Definição 1. Seja $S$ um conjunto de números reais (finito ou infinito). Dizemos que $S$ é superiormente limitado se existe um número real $M$ tal que $M \ge a$ para todo elemento $a$ de $S$. De mesma forma, podemos definir a noção de inferiormente limitado. Se um conjunto é tanto inferiormente quanto superiormente limitado, chamaremos esse conjunto simplesmente de limitado.

 

Definição 2. Diremos que uma sequência de números reais $a_1,a_2,...$ converge para o limite $a$ (onde $a$ é um número real) se:

para todo número real $\epsilon >0$, existe $N$ natural satisfazendo a relação lógica:

$n>N \Rightarrow |a_n-a|<\epsilon$

Essa última frase relacionada ao $\epsilon$ é a chave de tudo o que faremos daqui em diante. Tome cuidado para interpretar bem o que isso significa. A partir de agora, iremos representar essa definição pela notação $(a_n) \rightarrow a$

 

Definição 3. Vamos dizer também que a sequência $a_1,a_2,...$ tende a infinito se:

para todo número real $M >0$, existe $N$ natural satisfazendo a relação lógica:

$n>N \Rightarrow a_n>M$

Novamente, iremos representar esse fenômeno pela notação $(a_n)\rightarrow \infty$

 

Agora podemos começar a trabalhar com coisas mais sérias.

Axiomas

Axioma do Supremo. Todo conjunto não vazio $S$ de números reais limitado superiormente possui uma menor cota superior. Em outras palavras, existe um real $s$ que chamaremos de $\sup S$ satisfazendo as seguintes propriedades:

1. Se $a \in S$, então $\sup S \ge a$
2. Se $s' <s$, então existe $b\in S$ com $b>s'$

 

Da mesma forma, definimos o

Axioma do Ínfimo. Todo conjunto não vazio $S$ de números reais limitado inferiormente possui uma maior cota inferior.

Chamaremos essas duas cotas de supremo e ínfimo de $S$, representadas por $\sup S$ e $\inf S$ respectivamente.

 

Próxima aula, veremos algumas aplicações muito fortes que esses dois axiomas nos proporcionam.

 

Exercícios

Exercício 1. Prove o axioma do ínfimo a partir do axioma do supremo.

Exercício 2. Prove que toda sequência crescente de números reais limitada converge para algum limite.

Exercício 3. Prove que uma sequência de números reais possui no máximo um limite.