Lema do Binomial Alternado

Seja $n$ um inteiro positivo, então

${n\choose 0}-{n\choose 1}+{n\choose 2}-... = 0$

Note que ${n\choose k} = 0$ para $k>n$, então essa "soma infinita" é, na verdade, finita.

 

Prova. Provaremos o resultado de um modo um tanto curioso pelo Princípio da Inclusão-Exclusão.

Tome um elemento $x$ e $n$ conjuntos $A_1,A_2,...,A_n$ idênticos, todos iguais a $x$. Então o PIE nos diz que

$|\cup _{i=1} ^{n} A_i|=|A_1|+...+|A_n|-|A_1\cap A_2| -... +|A_1 \cap A_2 \cap A_3| +...$

Onde esses sinais de soma e subtração alternados continuam até chegarmos na interseção de todos os conjuntos.

Mas agora note que essa equação é a mesma coisa que

$1={n\choose 1}-{n\choose 2}+{n\choose 3}-...$

Exatamente o que desejávamos.