Matemática-Ideia 03 (Ponto Esperto na Bissetriz)

Um ponto Esperto na Bissetriz - Escrito por Samuel Prieto.

Geometria Olímpica pode ser considerada um aglomerado de teoremas, técnicas e Lemas importantes, aqui está um dos mais conhecidos:

Lemma:Seja $ABC$ um triângulo qualquer, $I$ seu incentro, e $D,E,F$ os pontos de contato do incirculo com $BC,AC$ e $AB$ respectivmente. Seja $P=BI\cap EF$, então P tem as seguintes propriedades:

(i)$P$ está na base média relativa a $AB$

(ii)$<B \hat{P} C=90$

Demonstração:

Sejam $T=AC\cap IP$, $A\hat{B} I=I\hat{B} C =\beta,A \hat{C} I=I\hat{C} B =\gamma$, sabemos que:

$$E\hat{P} I=B\hat{T}A-T\hat{E}P=$$

$$2\gamma+\beta-F\hat{E}A=$$

$$2\gamma+\beta-(\beta+\gamma)=\gamma$$

Logo, como $E\hat{P}I=E\hat{C}I$, o quadrilátero $IEPC$ é ciclico, logo $B\hat{P}C=I\hat{P}C=I\hat{D}C=90$, logo está provado (i). Agora seja $M$ o ponto médio de $BC$, , vamos ligar o segmento $PM$ e basta então provar que $PM$ é paralelo a $AB$, pois isso é suficiente para mostrar que é base média. Observe que, como $M$ é ponto médio do lado $BC$ do triângulo $BCP$, temos:

$$M\hat{P}B=M\hat{B}P=\beta$$

$$\Rightarrow P\hat{M}C=M\hat{P}B+M\hat{B}P=2\beta=A\hat{B}C$$

Logo $PM\parallel AB$, e está demonstrado (ii).

Exercícios:

1. Refaça todas marcações de angulo em sua própria figura (NO PAPEL), e faça questão de ter entendido, lembre-se que como este  não é um teorema famos, você vai precisar demonstrá-lo na hora da prova :).