Matemática - ideia 09

Escrita por Brendon Borck:

Um truque bastante conhecido em geometria e utilizado imensamente em problemas de qualquer nível é o Lema da Ceviana Qualquer. Como por sua definição ele não é um teorema é importante ressaltar que é necessária sua prova para uso, por mais que alguns corretores consideram desnecessário, sempre é bom pelo menos rabiscar a ideia de solução para atestar que você sabe o que está fazendo.

(L.C.Q.) Dado um triângulo $ABC$ e uma ceviana $AP$, onde $P$ está sobre o lado $BC$, então a seguinte relação sempre é verdade:

$\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{AB \cdot \sin{B\hat{A}P}}{AC \cdot \sin{C\hat{A}P}}$

Prova:

A prova do Lema da Ceviana Qualquer é simples e consiste em duas leis dos senos, a primeira no triângulo $BAP$:

$\dfrac{BP}{\sin{B\hat{A}P}} = \dfrac{AB}{\sin{B\hat{P}A}}$

A segunda no triângulo $CAP$:

$\dfrac{CP}{\sin{C\hat{A}P}} = \dfrac{AC}{\sin{C\hat{P}A}}$

Note que $\sin{B\hat{P}A} = \sin{C\hat{P}A}$ já que os ângulos são suplementares. Logo:

$\sin{C\hat{P}A} = \dfrac{AC\cdot \sin{C\hat{A}P}}{CP} = \sin{B\hat{P}A} = \dfrac{AB\cdot \sin{B\hat{A}P} }{BP}$

$\dfrac{AC\cdot \sin{C\hat{A}P}}{CP} = \dfrac{AB\cdot \sin{B\hat{A}P}}{BP}$

$\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{AB \cdot \sin{B\hat{A}P}}{AC \cdot \sin{C\hat{A}P}}$

Como queríamos demonstrar!

Problemas relacionados:

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5. (Cone Sul/2011) Seja $ABC$ um triângulo e $D$ um ponto sobre o lado $AC$. Se $\angle{CBD} - \angle{ABD} = 60^{o}, \angle{BDC} = 30^{o}$ e, além disso, $AB \cdot BC = BD^2$, encontre as medidas dos ângulos do triângulo $ABC$.
6. Problema $3$ da OCM de $2016$ (utilize nosso lema apenas como uma ferramenta).

Obs: (Ceva) Dado um triângulo $ABC$, construa as cevianas $AD$, $BE$ e $CF$, a partir disso é possível afirmar que elas se encontram num ponto $P$ se, e somente se:

$\dfrac{AF}{BF} \cdot \dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{AE} = 1$

(Ceva trigonométrico) Dadas as mesmas condições anteriores:

$\dfrac{\angle{B\hat{A}P}}{\angle{C\hat{A}P}} \cdot \dfrac{\angle{A\hat{C}P}}{\angle{B\hat{C}P}} \cdot \dfrac{\angle{C\hat{B}P}}{\angle{A\hat{B}P}} = 1$