Interiores Estelares

Por Fabrizio Ferro

Antes de analisar o conjunto de princípios e equações que governam a estrutura e evolução estelar, seria interessante saber: O que é uma estrela? Talvez a definição mais simples de uma estrela seria a de um corpo limitado por sua própria gravidade que libera energia, em forma de radiação, suplantada por fontes internas (necessariamente incluindo reações termonucleares). Uma definição alternativa seria a de um conjunto de plasma ionizado auto-gravitante governado por forças magneto-hidrodinâmicas que mantém o equilíbrio hidrostático devido a sua fonte interna de energia gerada por meio de reações termonucleares. A última definição foi apresentada na hipotética situação do leitor querer impressionar alguém, e deve ser ignorada de outra forma.

Uma interessante consequência da definição de estrelas é que elas devem evoluir. Conforme elas liberam a energia produzida internamente, mudanças em sua estrutura ou composição devem ocorrer. Podemos também inferir que as estrelas podem “morrer”, ou pela violação da condição de auto-gravidade (e.g. o material é dispersado) ou pela violação da energia de radiação proveniente de uma fonte interna (e.g. exaustão do “combustível” nuclear da estrela).

Nesta seção, vamos analisar o conjunto de equações que governam a estrutura e evolução estelar. Por mais que o modelo adotado seja simplificado, ele será suficientemente completo para nos oferecer intuição sobre a estrutura das estrelas. Como em qualquer fenômeno físico complexo, vamos começar nossa análise com aquilo que se conserva.

Equação da Energia

Se a distância média que uma partícula percorre entre colisões (caminho médio livre) for menor do que as dimensões do sistema, equilíbrio termodinâmico ocorre localmente. Se, além disso, o tempo médio entre colisões (tempo médio livre) for muito menor do que a escala de tempo envolvida nas mudanças das propriedades macroscópicas do sistema, o equilíbrio termodinâmico é assegurado, mas a distribuição de temperatura pode variar com o tempo. Nos interiores estelares, ambas as condições são satisfeitas.

Vamos agora considerar um elemento de massa entre uma distância $r$ e $r+dr$ do centro da estrela, podemos considerar sua temperatura, densidade e composição aproximadamente como constantes. A partir da suposição da simetria esférica da estrela, sendo $\rho$ a densidade, o elemento de massa $dm$ será dado por:

$dm=4\pi {r}^{2}\rho\ dr$       (1)

Vamos adotar $u$ como a energia interna por unidade de massa e $P$ como a pressão. Será denotado por $\delta f$ uma mudança no valor de uma quantidade $f$, característica do elemento de massa, em um curto período de tempo. Neste caso a descrição Lagrangiana (que lida com as propriedades de uma massa controlada), ao invés da Euleriana (que lida com as propriedades de um volume controlado), do fluido foi utilizada. Logo, se $\delta Q$ for a energia absorvida ($\delta Q>0$) ou emitida ($\delta Q<0$) pelo elemento de massa, e $\delta W$ for o trabalho realizado no elemento de massa em um intervalo $\delta t$, então pela primeira lei da termodinâmica:

$\delta (udm)=\delta Q+\delta W$

$dm\delta u=\delta Q+\delta W$       (2)

Onde foi assumido que a massa do elemento de massa permaneceu constante. $\delta W$ pode ser expressado por:

$\delta W=\delta(-PdV)$

$\delta W=-P\delta(dV)$

$\delta W=-P\delta \left( \frac{dV}{dm}dm \right)$

$\delta W = -P\delta \left( \frac{1}{\rho} \right) dm$

Agora, considere a energia fluindo pela superfície esférica (de massa m) como $F(m)$. Note que a dimensão de $F$ é energia por unidade de tempo, não energia por unidade de tempo por unidade de área, consequentemente $F(M)=L$ (ver figura f).

Figura 1:  Energia fluindo pelo elemento de massa.

Sendo $q$ a energia nuclear liberada por unidade de massa, $\delta Q$ será dado por:

$\delta Q=q\ dm\delta t+F(m)\delta t - F(m+dm) \delta t$

Mas $F(m+dm)=F(m)+\left( \frac{\partial F}{\partial m} \right) dm$, logo:

$\delta Q=\left( q\ dm\delta t-\frac{\partial F}{\partial m} \right) dm\delta t$

$\delta Q=\left( q-\frac{\partial F}{\partial m} \right) dm\delta t$

Substituindo as expressões encontradas de $\delta Q$ e $\delta W$ na equação (2) e rearranjando os termos:

$dm\delta u+P\delta \left( \frac{1}{\rho} \right) dm=\left( q-\frac{\partial F}{\partial m} \right) dm\delta t$

Considerando o limite em que $\delta t\rightarrow 0$, obtemos:

$\boxed{\dot{u}+P \dot { \left( \frac { 1 }{ \rho } \right) }=q-\frac{\partial F}{\partial m}}$       (3)

Na condição de equilíbrio térmico:

$dm\delta u=\delta W$;

$F(m+dm)=q\ dm+F(m)$;

$\delta Q=0$;

E qualquer outro argumento similar. Logo:

$q=\frac{dF}{dm}$

Integrando a expressão acima em toda massa $M$:

$\int_{0}^{M}{q\ dm}=\int_{0}^{L}{dF}$       (4)

O segundo termo da equação () será simplesmente a luminosidade $L$ da estrela. O primeiro termo será a potência total da estrela provida de reações nucleares, ou a Luminosidade nuclear ${L}_{nuc}$:

${L}_{nuc}=\int_{0}^{M}{q\ dm}$

Logo, a condição de equilíbrio térmico implica que a estrela irradia energia na mesma taxa que ela é produzida em seu interior.

$\boxed{L={L}_{nuc}}$       (5)

Equação do Movimento

Vamos agora considerar uma pequena parcela cilíndrica a uma distância $r$ do centro da estrela (ver figura 2). Esta parcela possui uma área de base $dA$, comprimento $dr$ e densidade $\rho$, logo, sua massa $\Delta m$ será:

$\Delta m=\rho\ dr\ dS$       (6)

Figura 2: Forças agindo na parcela cilíndrica

As forças agindo neste cilindro serão: (i) as forças resultantes da pressão do gás cercando o elemento, e (ii) a força gravitacional. Mas como estamos considerando uma distribuição esférica, as pressões aplicadas nas laterais da parcela se cancelam, e apenas as pressões nas bases precisam ser consideradas. Partindo da mesma premissa (i.e. simetria esférica), a força gravitacional será exercida perpendicularmente a base do cilindro, em direção ao centro da estrela, e  pela massa esférica $m$ interior ao raio $r$. Denotando a aceleração do elemento de massa por $\ddot{r}$ (Notação de Newton), podemos escrever sua equação de movimento da seguinte forma:

$\Delta m\ \ddot{r}=-\frac{Gm\Delta m}{r^2}+P(r)\ dS-P(r+dr)\ dS$

Mas $P(r+dr)=P(r)+\left( \frac{\partial P}{\partial r} \right) dr$, logo:

$\Delta m\ \ddot{r}=-\frac{Gm\Delta m}{r^2}-\left( \frac{\partial P}{\partial r} \right) dr\ dS$

Utilizando a expressão (6) de $\Delta m$ e substituindo no segundo termo da equação da direita:

$\Delta m\ \ddot{r}=-\frac{Gm\Delta m}{r^2}-\left( \frac{\partial P}{\partial r} \right)\frac{\Delta m}{\rho}$

Dividindo ambos os lados por $\Delta m$:

$\boxed{\ddot{r}=-\frac{Gm}{r^2}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial r}}$       (7)

Uma forma alternativa desta equação, mas muito útil, utiliza a transformação $dr=\frac{dm}{4\pi r^2\rho}$. Desta forma a equação () se transforma em:

$\boxed{\ddot{r}=-\frac{Gm}{r^2}-4\pi r^2\frac{\partial P}{\partial m}}$       (8)

As equações (7) e (8) são as equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma estrela. Note que as estrelas, na maior parte do tempo, estão em Equilíbrio Hidrostático (i.e. a força gravitacional está em equilíbrio com a pressão). Desta forma, podemos negligenciar o valor de $\ddot{r}=0$, obtendo as equações do equilíbrio hidrostático:

$\boxed{\frac{dP}{dr}=-\rho\frac{Gm}{r^2}}$       (10)

$\boxed{\frac{dP}{dm}=-\frac{Gm}{4\pi r^{4}}}$       (11)

Como o lado direito das equações (10) e (11) sempre será negativo, podemos concluir que o equilíbrio hidrostático implica que a pressão decresce conforme a distância do centro aumenta. A primeira vista, a equação (10) parece mostrar que o gradiente de pressão tende ao infinito conforme a distância do centro diminui. Isto, entretanto, é uma conclusão errônea, pois $\rho\frac{m}{r^2}$ tende a zero com $r$.

As equações (10) e (11) podem ser utilizadas para estimar a pressão no centro de um corpo em equilíbrio hidrostático. O termo “corpo” foi escolhido sabiamente, pois tais estimativas também são razoáveis quando aplicadas a planetas gasosos, ou quaisquer outros corpos que estejam em equilíbrio hidrostático. Manipulando e integrando a equação (), obtém-se:

$\int_{P(0)}^{P(M)}{dP}=\int_{0}^{M}{-\frac{Gm}{4\pi r^{4}}dm}$

$P(M)-P(0)=\int_{0}^{M}{-\frac{Gm}{4\pi r^{4}}dm}$

A pressão na superfície é praticamente nula, $P(M)\approx 0$, e o segundo termo do lado esquerdo é a pressão central, $P(0)\equiv {P}_{c}$, assim:

${P}_{c}=\int_{0}^{M}{\frac{Gm}{4\pi r^{4}}dm}$

É possível substituir $r$ pelo raio da estrela $R$, de forma a obter um limite inferior da pressão central ($r$ sempre seria menor ou igual a $R$, logo esta aproximação iria subestimar o valor da pressão central).

${P}_{c}=\int_{0}^{M}{\frac{Gm}{4\pi r^{4}}dm}>\int_{0}^{M}{\frac{Gm}{4\pi R^{4}}dm}$

${P}_{c}>\frac{GM^2}{8\pi R^{4}}$

Também podemos utilizar a equação (10) para realizar uma estimativa similar. Manipulando e integrando:

$\int_{P(0)}^{P(R)}{dP}=\int_{0}^{R}{-\rho\frac{Gm}{r^{2}}dr}$

Novamente, a pressão na superfície é praticamente nula, e $P(0)\equiv {P}_{c}$. Considere também (de forma errada) que a densidade $\rho$ é constante. Dessa forma, a massa $m$ interior a esfera de raio $r$ será $m=\frac{4\pi}{3}r^{3}\rho$, e a integral é simplificada:

${P}_{c}=\int_{0}^{R}{\frac{4\pi}{3}G{\rho}^{2}r\ dr}$

${P}_{c}=\frac{2\pi}{3}G{\rho}^{2}R^2$

Mas $\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}$, substituindo:

$\boxed{{P}_{c}=\frac{3GM^2}{8\pi R^{4}}}$       (12)

Teorema do Virial

É interessante perceber a implicação que o equilíbrio hidrostático tem na relação entre a energia gravitacional e a energia interna da estrela. Se a temperatura fosse menor (menor energia interna) a pressão não seria alta o suficiente para balancear a força gravitacional, e a estrela iria começar a contrair. Se a temperatura fosse maior (maior energia interna) a pressão superaria a força gravitacional, e a estrela iria expandir. Tal observação gera uma pergunta: Existe alguma relação entre a energia interna e gravitacional para uma estrela em equilíbrio hidrostático? O leitor provavelmente adivinharia que sim, já que o título desta subseção é o nome de um teorema e a pergunta não teria sido formulada do contrário.

Para as típicas temperaturas envolvidas no interior estelar, podemos tratar o material estelar como um gás ionizado, que segue os resultados obtidos pela mecânica estática de forma similar a um gás ideal. Consideremos então o caso de um gás ideal de densidade $\rho$, temperatura $T$, com partículas de massa ${m}_{g}$. A pressão do gás é dado por $P=nkT$, onde $n$ é a densidade numérica de partículas e $k$ é a constante de Boltzmann. Mas $n=\rho/{m}_{g}$ então podemos reescrever a pressão como $P=\frac{\rho}{{m}_{g}}kT$. A energia cinética por partícula em 3 dimensões é $\frac{3}{2}kT$. Para um gás ideal a energia interna é a energia cinética de suas partículas, logo a energia interna por unidade de massa é:

$u=\frac{3}{2}\frac{kT}{{m}_{g}}$       (13)

Podemos substituir $P\frac{\rho}{{m}_{g}}kT$ na equação acima, obtendo:

$\frac{P}{\rho}=\frac{2}{3}u$       (14)

Agora, vamos tentar relacionar a energia interna com a gravitacional para uma estrela em equilíbrio hidrostático. Manipulando a equação (11) e multiplicando pelo volume $V$ da massa esférica interior ao raio $r$, obtém-se:

$V\ dP=-\frac{Gm}{4\pi r^{4}}V\ dm$

Mas pela simetria esférica $V=\frac{4\pi}{3}r^{3}$, logo:

$V\ dP=-\frac{1}{3}\frac{Gm}{r}dm$

Integrando sobre toda a estrela:

$\int_{0}^{P(R)}{V\ dP}=\frac{1}{3}\int_{0}^{M}{-\frac{Gm}{r}\ dm}$       (15)

É possível perceber a energia potencial gravitacional no lado direito da equação

$\Omega=-\int_{0}^{M}{\frac{Gm}{r}\ dm}$       (16)

Substituindo (14) em (13):

$\int_{0}^{P(R)}{V\ dP}=\frac{1}{3}\Omega$       (17)

Aparentemente estamos travados. Entretanto, podemos realizar integração por partes na integral do lado esquerdo da equação (15). Este truque é muito útil na transformação de várias integrais, e não será a última vez que você vai encontrá-lo.

$\int_{0}^{P(R)}{V\ dP}={[VP]}^{R}_{0}-\int_{0}^{V(R)}{P\ dV}$

Mas como a pressão é nula na superfície, e o volume tende a zero com $r$, o primeiro termo da equação da direita é zero. Substituindo:

$-\int_{0}^{V(R)}{P\ dV}=\frac{1}{3}\Omega$

$-\int_{0}^{M}{P\frac{dV}{dm}\ dm}=\frac{1}{3}\Omega$

$\boxed{-\int_{0}^{M}{P\frac{1}{\rho}\ dm}=\frac{1}{3}\Omega}$       (18)

Substituindo (14) em (18):

$-2\int_{0}^{M}{u\ dm}=\Omega$

Mas o lado direito da equação () é simplesmente a energia interna, $\int_{0}^{M}{u\ dm}=U$. Desta forma nós derivamos o Teorema do Virial para uma estrela:

$\boxed{U=-\frac{1}{2}\Omega}$       (19)

Como foram feitas poucas aproximações, esta relação deve ser válida para qualquer $P(r)$, $T(r)$, $M(r)$. Desde que as condições de equilíbrio hidrostático, simetria esférica e gás ideal sejam asseguradas.