Escala de magnitudes

Por Lucas Shoji

Definição da escala de magnitudes

Vimos na aula passada que o brilho, ou seja, o fluxo cai com o quadrado da distância até uma estrela. Podemos estimar o brilho de uma estrela comum, idêntica ao Sol, a uma distância interestelar comum, digamos, $5$ kpc. Como $5$kpc $\approx 10^9$UA, a estrela seria $(10^9)^2=10^{18}$ vezes menos brilhante que o Sol. Esse é um número muito pequeno! Para deixar a notação mais palpável, e fácil de visualizar (entre outros motivos históricos), os astrônomos criaram a escala de magnitudes.

A escala de magnitudes é uma escala logarítmica de fluxo em que uma estrela de magnitude $m=1$ é $100$ vezes mais brilhante do que uma estrela de magnitude $m=6$. Ok, mas como relaciono isso com o fluxo? Vamos descobrir. Começaremos escrevendo

${F_1 \over F_6}=100 \Rightarrow {F_1 \over F_2}{F_2 \over F_3}{F_3 \over F_4}{F_4 \over F_5}{F_5 \over F_6}=100$

Como a escala é logarítmica, a razão entre dois fluxos de magnitudes consecutivas é a mesma, $f$:

${F_1 \over F_2}={F_2 \over F_3}={F_3 \over F_4}={F_4 \over F_5}={F_5 \over F_6}=f \Rightarrow f^5=100=10^2\Rightarrow f=10^{2/5}$

Usando mais uma vez as propriedades do logaritmo, como a razão entre fluxos de estrelas que têm diferença de magnitude $\Delta m=-1$ é $f$ (o menos vem do fato da magnitude diminuir e o fluxo aumentar), para $\Delta m = -2$ a razão deve ser $f^2$. Assim, para duas estrelas com diferença de magnitude $\Delta m$, a razão entre os fluxos deverá ser $f^{-\Delta m}$:

$f^{-\Delta m}={F_a \over F_b}\Rightarrow 10^{0,4(m_b-m_a)}={F_a \over F_b}\Rightarrow \boxed{m_a-m_b=-2,5 \log\Big({F_a \over F_b}\Big) \Leftrightarrow {F_a \over F_b}=10^{-0,4(m_a-m_b)}}$

Essas são as equações que você vai usar em praticamente todos os exercícios de magnitudes.

Alguns outros fatos importantes que podem ser cobrados são que o limiar da capacidade de detecção do olho humano comum está em $m=6$, e que Vega, α Lyrae, foi utilizada inicialmente para a calibração da magnitude $m=0$. Atualmente, com a descoberta da variação do brilho das estrelas, usa-se um outro método mais estável para calibrar esse sistema, mas mesmo assim a magnitude de Vega é bem próxima de $0$.

Exemplo: Sistema binário

Vamos aplicar a escala que acabamos de criar para o seguinte problema: sabendo as magnitudes das componentes individuais de um sistema binário $m_a$ e $m_b$, como consigo achar a magnitude combinada, $m_c$, que vemos no céu?

Sabemos que ${F_a \over F_b}=10^{-0,4(m_a-m_b)}$ .

Também, o fluxo combinado que observamos é $F_c=F_a+F_b$. Aplicando a equação da magnitude:

$m_c-m_b=-2,5 \log\Big({F_c \over F_b}\Big)=-2,5 \log\Big({F_a+F_b \over F_b}\Big)=-2,5 \log\Big({F_a \over F_b}+1\Big)$

Substituindo $F_a/F_b$ e isolando $m_c$, temos finalmente:

$m_c=m_b-2,5 \log\Big(10^{-0,4(m_a-m_b)}+1\Big)$

Outros conceitos

Quando falamos de magnitudes, nós normalmente falamos da magnitude no visível, composta pela luz no espectro visível ao olho humano. Porém, na maioria dos problemas astrofísicos, precisamos saber a magnitude composta pelo fluxo total, ou seja, em todas as frequências. Chamamos essa magnitude de magnitude bolométrica, $m_{bol}$. O fluxo total é o fluxo visível vezes um certo fator multiplicativo. Como em um logaritmo um fator multiplicativo torna-se um fator aditivo, podemos definir esse fator como uma correção bolométrica, $BC$. Assim, sendo $m_v$ a magnitude visível:

$\boxed{m_{bol}=m_v-|BC|}$

O módulo está na equação pois não há consenso de qual lado colocar o $BC$, levando a valores opostos dele. Podemos sempre chegar na equação certa sabendo que o fluxo total obviamente é maior que o fluxo visível, portanto $m_{bol}<m_v$.

Outro conceito importante é a magnitude absoluta, $M$, que é a magnitude de uma estrela vista a $10$pc de distância dela. A magnitude absoluta pode ser pensada como se fosse um análogo da luminosidade para as magnitudes, já que ela é, como o nome diz, absoluta. Podemos deduzir a relação entre a magnitude aparente e a absoluta:

$m-M=-2,5 \log\Big({F_m \over F_M}\Big)=-2,5 \log\Big({L \over 4 \pi d^2} {4 \pi (10 pc)^2 \over L}\Big)=-2,5 \log\Big({(10 pc)^2 \over d^2}\Big)\Rightarrow \boxed{m-M=5log\Big({d \over 10 pc}\Big)}$

O termo da esquerda, $m-M$, também é conhecido como módulo de distância.

Também, outra definição aparece de vez em quando é quando consideramos a magnitude superficial $\mu$ de um objeto extenso. Expressada em mag/arcsec², a magnitude superficial é um análogo da magnitude para a intensidade:

$\boxed{\mu_1-\mu_2=-2,5 \log\Big({I_1\over I_2}\Big)\Rightarrow \mu=m+2,5 \log\Big({\omega \over arcsec^2}\Big)}$

onde $I$ é a intensidade e $\omega$ o ângulo sólido. Muitas vezes, como os ângulos envolvidos são muito pequenos e portanto a superfície da esfera pode ser aproximada para um plano. Então, o ângulo sólido usado na intensidade é aproximado para uma "área angular", justificando assim o "arcsec²". Por exemplo, uma galáxia esférica de diâmetro angular $2$" tem área angular $\pi$ arcsec².

Exercícios

1. Quantas Sirius ($m=-1,46$) precisaríamos para obtermos o mesmo brilho do Sol?

2. Um sistema trinário é composto por duas estrelas de magnitude absoluta $3$ e outra de $5$.

a) Qual a magnitude absoluta combinada do sistema?

b) Supondo que o sistema esteja com magnitude aparente $m_0=2$ agora, e que o sistema esteja se afastando de nós a $v_r=10$km/s, quando a estrela deixará de ser visível?

3. Assuma que todas as estrelas têm mesma magnitude absoluta e estão distribuídos homogeneamente pelo espaço. Seja $N(m)$ o número de estrelas mais brilhantes que a magnitude $m$. Ache a razão $N(m+1) \over N(m)$.