INICIANTE
Num futuro distante, a humanidade está deseperada em encontrar um novo planeta para chamar de lar. Isso porque o Sol está prestes a se tornar uma gigante vermelha e engolir a Terra! Após esforços desesperados, foi encontrado um candidato perfeito para ser o novo lar dos humanos: o planeta 14N-C3U que orbita a estrela P10. Foi encontrada a magnitude absoluta de P10 como sendo 3,7 e sua magnitude aparente igual a 6,5. Considerando que a nave que levará os humanos até lá viaja a 150km/s constantemente encontre a distância até essa estrela (em pc) e quanto tempo (em anos) os humanos levarão para chegar ao planeta 14N-C3U. Despreze efeitos de extinção interestelar e efeitos relativísticos.
INTERMEDIÁRIO
Prove que os ângulos de um triângulo esférico equilátero NÃO podem ser iguais a 
.
AVANÇADO
André, após se tornar um engenheiro aeronáutico pelo ITA, decide montar uma parceria com seu fabricante de satélites favorito, Bruno Mokotó, e lançar um novo mercado: Satélites de comunicação em planetas órfãos (planetas que não orbitam estrelas). O planeta escolhido para o lançamento do projeto foi o recentemente descoberto G48R-13L4, de raio 
, massa 
e que não tem rotação. Inicialmente André e Mokotó resolvem lançar um satélite com período igual ao dia sideral da Terra, 
e com inclinação 
em relação ao equador do planeta para testar o funcionamento de seu sistema em G48R-13L4, mas os dois são muito preguiçosos e você foi contratado por eles para encontrar as respostas das seguintes perguntas:
a) Qual será o raio da órbita desse satélite?
O sistema de comunicação entre o planeta e o satélite funciona de modo que o satélite emite um feixe de radiação apontado para a estação de captação com intensidade equivalente a uma magnitude 8. Em seguida, a estação recebe esse sinal utilizando um captador com diâmetro de 50mm, o qual transmite para os computadores analizarem os dados recebidos.
b) Qual seria a "magnitude limite" desse captador? Considere o funcionamento do captador semelhante a um telescópio comum.
c) Quantas estações de captação serão necessárias para o total funcionamento do sistema de André e Mokotó? Considere que o feixe de radiação é sempre apontado para a estação de captação e quando sai de sua área de funcionamento, automaticamente muda o posicionamento para a próxima de menor distância. Além disso, André tem uma condição mental que o permite construir estações de captação APENAS ao longo da projeção da órbita do satélite na superfície de G48R-13L4, ou seja, no equador. Você pergunta a André se ainda há algo que devemos considerar e ele responde que não.
Após você terminar todos os cálculos do item c), André volta correndo e diz que esqueceu de lhe dizer apenas um pequeno detalhe: a atmosfera de G48R-13L4, que tem uma profundidade óptica de 
, a qual diminui a intensidade do sinal recebido pela estação de captação.
d) Agora, considerando esse pequeno detalhe, calcule quantas estações de captação serão necessárias para o total funcionamento do sistema de André e Mokotó. Desconsidere efeitos de refração atmosférica, apenas de extinção.