Soluções Astronomia - Semana 71

INICIANTE

Inicialmente podemos utilizar a 3ª Lei de Kepler $\left(T_a = \dfrac{T_u}{2}\right)$ para encontrar o semi-eixo maior do asteroide $a_a$:

$\dfrac{T_a^2}{a_a^3} = \dfrac{T_u^2}{a_u^3} \Longrightarrow a_a = a_u\cdot \left( \dfrac{T_a}{T_u} \right)^{\frac{2}{3}}$

$a_a = a_u \cdot 2^{-\frac{2}{3}}$

Para que as orbitas se interceptem, a distância do afélio do asteroide deve ser maior que o raio da órbita de Urano ($e$ é a excentricidade da orbita):

$a_a \cdot (1+e) \geq a_u \Longrightarrow 1+e \geq 2^{\frac{2}{3}}$

$e \geq 2^{\frac{2}{3}}-1 \Longrightarrow e \geq 0,587$

Assim, como a orbita é fechada $1>e \geq 0,587$, no caso de menor excentricidade:

$\boxed{e = 0,587}$

INTERMEDIÁRIO

Primeiramente, temos o seguinte desenho:

 

a) Temos, pela lei dos Senos:

$\frac{r}{sin\alpha}=\frac{a}{sin\theta} \Rightarrow r=a \frac{sin\alpha}{sin\theta}$

Para calcular $\theta$, devemos tomar cuidado com os funções trigonométricas inversas da calculadora.

*as bolinhas estão na ordem invertida

• $\phi=0,84$: $\theta=cos^{-1}(2\phi - 1)$. Obtemos $cos\theta = 0,68$, logo nosso $\theta$ poderia matematicamente valer $47,2^{\circ}$ ou $312,8^{\circ}$, porém o seno da última opção é negativo, que faz com que $r$ seja negativo, fazendo com que $47,2^{\circ}$ seja o valor correto de $\theta$. Assim, $r=0,7276UA$
• $\phi=0,0209$: $\theta=cos^{-1}(2\phi - 1)$. Obtemos $cos\theta = -0.582$, logo nosso $\theta$ poderia matematicamente valer $125,6^{\circ}$ ou $234,4^{\circ}$, porém o seno da última opção é negativo, que faz com que $r$ seja negativo, fazendo com que $125,6^{\circ}$ seja o valor correto de $\theta$. Assim, $r=0,7186UA$

b) A soma das distâncias ao periélio e afélio ao Sol devem valer $2A$, onde $A$ é o semieixo maior de Vênus. Pelo gráfico, podemos estimar que $d_{per}=0,718UA$ e $d_{afe}=0,728UA$. Note que, por ser uma estimativa, o range de valores aceitos numa prova seria grande. Assim, $A=\frac{d_{per}+d_{afe}}{2}=0,723UA$

c) Sabemos que $d_{per}=A-C=A(1-e)$, logo $e=1-\frac{d_{per}}{A} \approx 0,007$. Esse mesmo resultado também seria obtido usando que $d_{afe}=A(1+e)$

**Se você quiser ver de onde a expressão de $\phi (\theta)$ vem, olhe este (avançado) problema da semana. Os itens c) para frente envolvem cálculo, logo fica a seu critério resolvê-los.

AVANÇADO

a)

$\dfrac{sen(LHA*)}{sen z}=\dfrac{sen A}{sen(90-\delta)}$

$LHA*=sen^{-1}\left(\dfrac{senA senz}{cos\delta}\right)$

$LHA*=sen^{-1}\left(\dfrac{sen109^{\circ}sen37.5^{\circ}}{cos(-8^{\circ}11')}\right)$

$LHA*=35.46^{\circ}=2h22min$

$LHA=24h-2h22min=21h38min$

b)

Quando for 01:00 de 21 de novembro em Bangkok será 18:00 de 20 de novembro no tempo universal(UT)

Número do dia + horário = 323dias 18h

GST=GST em 1 de janeiro + o angula que $\gamma$ se move desde 1 de janeiro

$GST=6h 43min +\left(323\dfrac{18}{24}dias\right) \left( \dfrac{1}{365.2422}\right) \cdot 24\dfrac{h}{dia}+\left[18h\cdot \left(\dfrac{42}{23.9344}\right)\right]$

$GST=6h43min+21h16min+18h3min$

$GST=46h2min$

$GST=21h58min$

c)

$24h-LHA=RA-LST$

$LST=RA-24h+LHA$

$L=RA+LHA-GST$

$L=5h15mim+21h38min-21h58min=4h55min$

$L=73.75^{\circ}$

d)

$cos(90-\delta)=cos z cos(90-\phi)+sen z sen(90-\phi)cos A$

$sen\delta=sen h sen\phi+cos h cos\phi cos A$

$\alpha= sen\delta, \beta=sen h, \gamma=cos h cos A, x=sen\phi$

$\alpha=\beta x+\gamma\sqrt{1-x^2}$

$(\beta ^2 +\gamma^2 )x^2 -2\alpha \beta x +(\alpha ^2 -\gamma ^2 )= 0$

$x=\dfrac{\alpha \beta \pm \gamma \sqrt{\gamma ^2 + \beta ^2 -\alpha ^2}}{\beta ^2+\gamma ^2}$

$\phi=-24.05^{\circ} ou 4.01^{\circ}$

para $\phi=-24.05^{\circ} \rightarrow A=71^{\circ}$

para $\phi=4.01^{\circ}\rightarrow A=109^{\circ}$

Portanto $\phi=4.01^{\circ}$