Soluções Astronomia - Semana 76

INICIANTE

O primeiro passo a ser feito é garantir que, com a dada diferença de longitude, existem raios de luz que saem de SP e chegam na Central sem ter que passar pelo interior da Terra. Note que a maior diferença limite de longitude que satisfaz isso, $\Delta \lambda_{max}$, é tal que o raio de luz limite tangencia ambas as cidades, assim como se observa na figura:

Para encontrar $\Delta \lambda_{max}$ basta fazermos um pouco de trigonometria no triângulo Satélite $-$ $C1$ $-$ Centro Terra:

$cos(\frac{\Delta \lambda_{max}}{2})=\frac{R}{R+h}\Rightarrow \Delta \lambda_{max}=46^{\circ}$

Onde $R=6370km$ é o raio da Terra, que está na tabela de constantes.

Entretanto, pelo enunciado, $\Delta \lambda=70,41-46,63=23,78^{\circ}$. Assim, como $\Delta \lambda < \Delta \lambda_{max}$, a situação descrita é possível de acontecer e podemos prosseguir com os cálculos.

Agora, veja a figura representando a situação:

Uma possível dúvida que você pode ter é com respeito a qual raio de luz irá ser refletido no satélite para chegar na Central e então fazer o caminho de volta. Note que, pela simetria da situação, o caminho realizado pelo raio de luz na ida deve ser idêntico ao da volta (mandar um raio de luz de SP para a Central é fisicamente a mesma coisa que mandar um raio de luz da Central para SP). Assim, prolongando a bissetriz da diferença de longitude até encontrarmos a órbita com satélites, encontramos o ponto no qual o raio de luz irá refletir em um dos satélites da Starlink. Chamemos esse ponto de $P$ e a distância entre SP e $P$ (idêntica à distância entre a Central e $P$) de $D$. O tempo total que o raio de luz irá levar para retornar a São Paulo é $T=\frac{4D}{c}$. Assim, basta encontramos $D$ com um pouco de trigonometria no triângulo $P$ $-$ SP $-$ Centro Terra:

Lei dos Cossenos:

$D^2=R^2+(R+h)^2-2R(R+h)cos(\frac{\Delta \lambda}{2})=1500km$

Logo, $T=\frac{4D}{c}=0,020s$ é o tempo de lag supondo que o intervalo de tempo entre o recebimento e a emissão de um novo sinal, tanto no satélite como na central, é nulo.

INTERMEDIÁRIO

Primeiramente para encontrar a distância devemos encontrar a distância desconsiderando a extinção e depois iterar para acharmos um valor que tende ao real.Utilizando a fórmula do modulo da distância temos que:

$m-M=5log(d)-5$

$d=5754pc$

Considerando a extincão temos que

$m-M=5log(D)-5+aD$

$D=10^{(m-M+5-aD)/5}$

Substituindo D por d e iterando temos que:

D=2.1Kpc

Agora para a segunda parte do problema devemos descobrir o raio da órbita do exoplaneta, um método mais rápido que utilizar trigonometria é simplesmente multiplicar a distância até a estrela em parsec pela distância angular em segundos de arco pois o resultado vai ser a distância em unidades astronômicas

$D \cdot \theta=a$

$a=10.5U.A.$

Utilizando a terceira lei de kepler

${a^3}/{T^2} =M$

Isolando o período temos que

$T=10anos$

AVANÇADO

(em breve)