Soluções Astronomia - Semana 79

INICIANTE

A distância de Bojan até o Mc Donald's será uma função do tempo dada por:

d=d0vt

Tal que, no momento em que Bojan distinguir angularmente o Big Mac, teremos, pela condição de Rayleigh:

θ=1,22λD

mas:

tanθθ=2rd

Logo, pela condição de igualdade:

2rd=1,22λD

d=d0vt=2Dr1,22λ

t=d0v2Dr1,22λv

t4,3min

INTERMEDIÁRIO

Com as informações do enunciado podemos montar a figura da passagem meridiana do Sol:Perceba que, com isso, teremos o triângulo:

Tal que, pela Lei dos Senos:

sin(90φ+h)d=sin(90h+δ)L/2cosφ

cos(φh)d=cos(hδ)L/2cosφ

Expandindo os cossenos:

cosφcosh+sinφsinhd=coshcosδ+sinhsinδL/2cosφ

 

Dividindo por cosh em ambos os lados da igualdade:

cosφ+sinφtanhd=cosδ+tanhsinδL/2cosφ

tanh(sinφd2sinδcosφL)=2cosφcosδLcosφd

h=arctan(2dcosφcosδLcosφLsinφ2dsinδcosφ)

Assim, encontramos o nosso resultado! Por fim, note que para o caso clássico em que d>>L:

harctan(2dcosφcosδ2dsinδcosφ)

harctan(cosδsinδ)

harctan(tan((90δ)))

h(90δ)

Onde o sinal negatido indica apenas uma inversão de sentido com relação ao da figura. Note que os resultados para o caso clássico estão totalmente condizente com o esperado.

AVANÇADO

a)

Inicialmente, o satélite estará no Meridiano de Greenwich e Mextre enviará o sinal, Como a velocidade da luz é finita, até o sinal percorrer toda a distâncial necessária para alcançar o satélite, o mesmo já terá percorrido uma distância em sua órbita, de modo que estará em um ponto P. Seja Δt o tempo de duração do experimento, a distância percorrida pela luz será d=cΔt2 e pela lei dos cossenos:

d=R2T+R22RTRcosθ

Em que θ é a separação entre o ponto P e o Mextre, podendo ser calculada pelo triângulo esférico:

 

cosθ=cosφcos(ωΔt2)+sinφsin(ωΔt2)sini

 

Como a velocidade da luz é muito grande, teremos que o tempo Δt levado para percorrer toda a distância necessária será muito pequeno, logo, o ângulo ωΔt2 será muito menor que 1 e, com isso, poderemos utilizar as aproximações dadas no enunciado:

cosθcosφ18ω2Δt2cosφ+12ωΔtsinisinφ

Tal que:

dR2T+R22RTR[cosφ18ω2Δt2cosφ+12ωΔtsinisinφ]

Perceba que, desconsiderando a contribuição da rotação terrestre, podemos encontrar ω pela Terceira Lei de Kepler:

P2R3=4π2GMT

ω=2πP=GMTR3

Logo:

d2=R2T+R22RTRcosφ+14cosφRTGMTR2Δt2sinφRTsiniGMTR

Multiplicando os dois lados da equação por R2:

d2R2=R2TR2+R42RTR3cosφ+14cosφRTGMTΔt2sinφRTsini(GMT)1/2R3/2

Substituindo o valor de d=cΔt2 e reagrupando os termos, encontramos:

R42RTcosφR3+(R2Tc2Δt24)R2+0R+14cosφRTGMTΔt2=sinφRTsini(GMT)1/2R3/2

Assim como queríamos demonstrar!
b)
Para termos apenas uma solução física possível, deveremos zerar os termos constantes e os que aparecem R3 e R3/2, tal que, para isso, cosφ=0 e sini=0, o que implica que φ=±π2 e i=0.

Perceba, também, que esse item poderia ser feito independentemente do item anterior. Basta notar, para isso, que, para que haja só uma solução possível para R, d deve ser constante com o passar do tempo, ou seja:

d2=R2T+R22RTRcosθ(t)

mas cosθ(t)=0, logo:

d2=R2T+R2

Para isso ser possível, φ=±π2 e i=0.

Por fim:

R=c2Δt24R2T=1.1×1010m

c)
Por conservação de momento linear:

msVobmcVmin=(ms+mc)Vθ

Vθ=msVobmcVminms+mc

Por conservação de energia:

V2θ2GMTR=V2P2GMTRT

Mas, por conservação de momento angular:

VθR=VPRT
VP=VθRRT

Tal que, resolvendo para Vθ:

Vθ=2GMTR2R2T1(1RT1R)

E, por fim, resolvendo para Vmin:

Vmin=msmcGMTRms+mcmc2GMTR+RTRTR=2.04km/s